三刀如何切

　　羅杰小姐的想法是，乳酪是個(gè)圓柱狀固體，可以沿水平方向從乳酪的半腰處把它一刀兩半，如圖2―1所示。按圖中虛線的切法，三刀可以把乳酪八等分。這種切法的前提是，每刀之間互不影響，換言之，先被切下的每一塊都不可挪動(dòng)。還有一種切法是，一刀一刀地切，每切一刀時(shí)，可以挪動(dòng)被切下的部分，可以重新安排每部分之間的相互位置。對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種切法也可以三刀把乳酩八等分。具體切法是：先一分為二，再把兩部分摞起來(lái)切，二分為四，再把四部分摞起來(lái)切，四分為八。

　　圖2-1

　　羅杰小姐的想法很簡(jiǎn)單，甚至可以說(shuō)極其平常。但是循著她的思路去思考，我們很快會(huì)豁然領(lǐng)悟：可以利用計(jì)算有限差分的方法來(lái)探討切割問(wèn)題并用數(shù)學(xué)理論去證明它。有限差分的計(jì)算對(duì)于求數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)有力工具。涉及數(shù)列的問(wèn)題在實(shí)際生活中觸手可及，利用計(jì)算機(jī)來(lái)解決又非常迅速，所以這類問(wèn)題越來(lái)越引起人們的極大興趣。

　　羅杰小姐切乳酪的最初想法是單純經(jīng)過(guò)乳酪上表面的中心垂直地切。乳酪的上表面像一張煎餅一樣是個(gè)平面。那么我們就不妨試一下，簡(jiǎn)單地切一張煎餅會(huì)得出一個(gè)什么樣的數(shù)列。如果每一刀都經(jīng)過(guò)煎餅的中心，那么很顯然，切n次最多得到2n塊。

　　是否對(duì)于任何封閉曲線構(gòu)成的平面圖形切n次最多都只能得到2n塊？不――如圖2―2所示，這是一個(gè)很容易畫(huà)出來(lái)的非圓圖形。對(duì)于這個(gè)圖形，一刀你就能切下很多塊。那么有沒(méi)有可能畫(huà)出這樣一個(gè)圖形，使得切一刀可得到彼此全等的數(shù)量一定的幾塊？如果有可能，它的周邊要具有什么特性？ 如果每一刀的切法不一樣，那么切煎餅的問(wèn)題便會(huì)復(fù)雜了，你不停地切下去很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，到n=3的時(shí)候，得出的結(jié)果已超過(guò)2n塊。這里我們暫不考慮切下的每一塊是否全等或者面積是否相等。圖2―3表示出當(dāng)n=1、2、3、4時(shí)，最多能得到多少塊――2、4、7、11。

　　圖2-3

　　這里，n代表所切的次數(shù)。從n=0開(kāi)始，前十次切出的塊數(shù)是1、2、4、7、l1、16、22、29、37、46……請(qǐng)注意第一列差分是1、2、3、4、5、6、7、8、9……第二列差分是1、1、l、1、1、1、l、1……從這里我們可以明顯地看出，數(shù)列的通項(xiàng)對(duì)于切的次數(shù)n是二次函數(shù)。

　　我們之所以說(shuō)“明顯地看出”，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)有限差分的計(jì)算得出的公式并不能保證它對(duì)于無(wú)窮數(shù)列同樣成立，亦即科學(xué)的證明不可或缺。當(dāng)然對(duì)于這個(gè)切煎餅的公式，用數(shù)列歸納法即可輕而易舉證明之。

　　舉一反三，你可以舉出許許多多類似的問(wèn)題，有些問(wèn)題得出的數(shù)列、通項(xiàng)公式及其數(shù)學(xué)證明都很有意思。這里我們不妨聊舉數(shù)例。對(duì)于下列五種情形，每種情況下最多能得出多少份？

　　1．在馬洞形(horsehoe)的煎餅上切n刀。

　　2．對(duì)一個(gè)球體、或?qū)σ粋�(gè)圓柱體切n次(允許水平方向切)。

　　3．用圓形的餅干切刀(circular cookie cutter)對(duì)煎餅切n次。

　　4．對(duì)圓環(huán)形煎餅(中心有一個(gè)圓孔)切n次。

　　5．對(duì)油炸圈餅(圓環(huán)體)切n次(允許水平方向切)。

　　請(qǐng)按照前面提到的兩種不同切法來(lái)解決這些問(wèn)題，看看答案如何變化。