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音樂與數學

來源:轉載 2008-05-07 18:12:19

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  動人的音樂常給人以美妙的感受。古人云:余音繞梁,三日不絕,這說的是唱得好,也有的人五音不全,唱不成調,這就是唱得不好了。同樣是唱歌,甚至是唱同樣的歌,給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發聲振動頻率不同。

  人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受,但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現以后,這是因為弦振動頻率和弦的長度存在著簡單的比例關系。近代數學已經得出弦振動的頻率公式是 W = ,這里,P是弦的材料的線密度;T是弦的張力,也就是張緊程度;L是弦長;W是頻率,通常以每秒一次即赫茲為單位。

  那么,決定音樂和諧的因素又是什么呢?人類經過長期的研究,發現它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單,兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。

  首先,最簡單之比是2:1。例如,一個音的頻率是160、7赫茲,那么,與它相鄰的協和音的頻率應該是2×260、7赫茲,這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個音是4×260、7赫茲。這樣推導下去,我們可以得到下面一列和諧的音樂:

  260、7,2×260、7,22×260、7……

    我們把它簡記為C0,C1,C2,……,稱為音名。

    由于我們討論的是音的比較,可暫時不管音的絕對高度(頻率),因此又可將音樂簡寫為:

    C0C1C2C3……

    20212223……

  需要說明的是,在上面的音列中,不僅相鄰的音是和諧的,而且C與C2,C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協和音頻率之比是2M。(其中M是自然數)

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