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“±1”的妙用

來源:數學專業網 2008-05-07 18:12:19

智能內容

  桌上放著8只茶杯。全部杯口朝上,每次翻轉其中的4只,只要翻轉兩次,就把它們全都翻成杯口朝下。

  如果將問題中的8只改為6只,每次仍然翻轉其中的4只,能否經過若干次翻轉把它們全部翻成杯口朝下?

  請動手試驗一下這時你會發現經過三次翻轉就達目的。說明如下:

  用±1表示杯口朝上,-1表示杯口朝下,這三次翻轉過程可以簡單地表示如下

  初始狀態   +l,+l,+l,+l,+l,+l

  第一次翻轉 -1,-1,-1,-l,+l,+1

  第二次翻轉 +1,+1,+1,+1,-1,-1

  第三次翻轉 -l,-l,-1,-l,-l,-1

  如果再將問題中的8只改為7只,能否經過若干次翻轉(每次4只)把它們全部翻成杯口朝下?

  幾經試驗,你將發現,無法把它們全部翻成杯口朝下。

  是你的“翻轉”能力差,還是根本無法完成?

  “±1”將告訴你:不管你翻轉多少次,總是無法使這7只杯口朝下。

  道理很簡單。用±1表示杯口朝上,-1表示杯口朝下,問題就變成:“把7個±1每次改變其中4個的符號,若干次后能否把它們都變成-1?”考慮這7個數的乘積,由于每次都改變4個數的符號,所以它們的乘積永遠不變(即永為+1),而全部杯口朝下時7個數的乘積等于-1,這是不可能的。

  道理竟是如此簡單,證明竟是如此巧妙,這要歸功于“±l”語言。

  中國象棋中的馬走日字,在對弈時你發現下面這種現象沒有?──

  馬自某個位置跳起,如果再想回到原來位置,一定經過偶次步。

  ±1語言也可幫你證明這個結果:

  象棋盤共有9×10=90個位置,相鄰位置用符號不同的數(+l與-1)來表示(圖中所有實心圓點位置用+l表示,


    

余者用-l表示),那么象棋馬從任何一個位置,每走一步就要改變符號。就是說,棋子馬要想不變符號,必須走偶步。而馬自某個位置跳起,再回到原來位置,符號不變,故得結論:馬自某個位置跳起,如果再想回到原來位置,一定經過偶次步。

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