1991年全國初中數學聯賽（第一試）題目

來源：投稿 2008-11-04 09:54:21

1991年全國初中數學聯賽第一試

注釋：“√”表示根號。
一、選擇題
1．設等式√( a(x - a) ) + √( a( y- a) ) = √(x - a) -√(y - a)在實數范圍內成立，其中a，x，y是兩兩不同的實數，
則(3x² + xy - y²)/(x²- xy + y²)的值是
（A）3；（B）1/3；（C）2；（D）5/3．

2．如圖，AB∥EF∥CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是
（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．
3．方程 x² - |x| + 1 = 0 的解是
（A）(1±√5)/2；（B）(-1±√5)/2；（C）(1±√5)/2 或 (-1±√5)/2；（D）±(-1±√5)/2
4．已知：x = 1991^1/n - 1991^-1/n（n是自然數）．那么( x-√(1+x²) )ⁿ 的值是
（A）1991^-1；（B）-1991^-1；（C）(-1)ⁿ1991；（D）(-1)ⁿ1991^-1．
5．若 1×2×3×…×99×100 = 12ⁿ×M，其中 M 為自然數，n為使得等式成立的最大的自然數，則 M
（A）能被2整除，但不能被3整除；（B）能被3整除，但不能被2整除；
（C）能被4整除，但不能被3整除；（D）不能被3整除，也不能被2整除．
6．若a，c，d是整數，b是正整數，且滿足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么 a+b+c+d 的最大值是
（A）-1；（B）-5；（C）0；（D）1．
7．正方形OPQR內接于ΔABC(P、Q在BC上，R在AC上,O在AB上)．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面積分別是 1，3，1，那么，正方形OPQR的邊長是
（A）√2；（B）√3；（C）2；（D）3．
8．在銳角ΔABC中，AC = 1，AB = c，∠A = 60^o，ΔABC的外接圓半徑R≤1，則
（A）1/2＜c＜2；（B）0＜c≤1/2；（C）c＞2；　（D）c=2．
二、填空題
1．E 是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，AE 交對角線 BD 于 G，如果ΔBEG 的面積是1，則平行四邊形ABCD的面積是________．
2．已知關于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=0 沒有實數解．甲由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為2和4；乙由于看錯了某一項系數的符號，誤求得兩根為-1和4，那么，(2b+3c)/a = _______．
3．設m，n，p，q為非負數，且對一切x＞0，(x+1)^m/xⁿ - 1=(x+1)^p/x^q恒成立，則(m²+2n+p)^2q = _______．
4．四邊形ABCD中，∠ABC = 125^o，∠BCD = 120^o，AB = √6，BC = 5 - √3，CD = 6，則 AD = ________．

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