四年級(jí)奧數(shù)專題之最大積的排列問(wèn)題
在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，我們經(jīng)常會(huì)遇到把若干個(gè)數(shù)字排列成幾個(gè)數(shù)相乘，使得乘積最大的問(wèn)題。如何排列呢？我們知道：在周長(zhǎng)一定的情況下，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬越接近，所得長(zhǎng)方形的面積就越大（以下簡(jiǎn)稱“接近原則”）。根據(jù)這一規(guī)律就可以順利解決此類問(wèn)題。
一、常規(guī)類型
例1用3、4、5、6、7、8六個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)三位數(shù)，使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大，應(yīng)怎樣排列？
【分析與解】因?yàn)?>7，6>5→85、76最接近，又4>3→853、764最接近，可知853×764所得乘積最大。
例2用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)五位數(shù)，使得這兩個(gè)五位數(shù)的乘積最大，應(yīng)怎樣排列？
【分析與解】因?yàn)?>8，7>6→96、87最接近，又5>4→964、875最接近，又3>2→9642、8753最接近，又1>0→96420、87531最接近，96420×87531乘積最大。
例3用53、64、78、82四張數(shù)字卡片，組成兩個(gè)四位數(shù)，如何排乘積才能最大？
【分析與解】因?yàn)?2>78，64>53，根據(jù)“接近原則”，應(yīng)這樣搭配→8253、7864，所以8253×7864乘積最大。
二、變式類型
例4用2，7，3，8四個(gè)數(shù)字排一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)，乘積最大的式子是什么？
【分析與解】根據(jù)“接近原則”。8>7，“一位數(shù)”盡可能大才能接近“三位數(shù)”，因此，8就是要求的一位數(shù)，三位數(shù)是732，即732×8乘積最大。
例52，3，4，5，6五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，使得它們的乘積最大？
【分析與解】因?yàn)?>5，4>3→63、54最接近，根據(jù)接近原則，兩位數(shù)應(yīng)該盡量大，故取63為兩位數(shù)，即63×542乘積最大。
例6用3，4，5，6，7，8六個(gè)數(shù)字排成三個(gè)兩位數(shù)相乘，要求它們的乘積最大。應(yīng)該怎樣排列？
【分析與解】十位數(shù)字分別是8、7、6，8>7>6,個(gè)位數(shù)字分別是5，4，3，5>4>3，依據(jù)“接近原則”，大小搭配可得83×74×65，三個(gè)數(shù)最接近因而它們的乘積最大。
綜上數(shù)例，可以歸納出這樣的規(guī)律:較大數(shù)后配較小的數(shù)，較小的數(shù)后配較大的數(shù)，這樣才能使數(shù)之間更為接近，從而保證乘積最大。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：數(shù)越接近，乘積越大。
如果把上面所有問(wèn)題中的“最大”改為“最小”，又該怎樣排列呢？容易推知：較大數(shù)后配較大數(shù)，較小數(shù)后配較小數(shù)，相差越大，其積越小。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：數(shù)越懸殊，乘積越小。
以上規(guī)律均可用代數(shù)方法予以證明，這里不再贅述。
【練一練】
1、用4、5、6、7、8、9六個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)三位數(shù)，如何排，才能它們的乘積最大？
2、用2、3、6、9組成兩個(gè)兩位數(shù)，使它們的乘積最小，怎樣排？
3、用3，4，5，7，9組成一個(gè)二位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，使它們的乘積最大，應(yīng)該怎樣排？
4、已知：甲=11×19，乙=12×18，丙=13×17。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)中誰(shuí)最大？誰(shuí)最小？
5、已知：A=123456789×987654321，B=123456788×987654322不計(jì)算比較A、B的大小。
