12.64人訂A、B、C三種雜志.訂A種雜志的28人,訂B種雜志的有41人,訂C種雜志的有20人, 訂A、B兩種雜志的有10人,訂B、C兩種雜志的有12人,訂A、C兩種雜志的有12人,問(wèn)三種雜志都訂的有多少人?

13.求從1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù).

14.夏日的一天,有十個(gè)同學(xué)去吃冷飲.向服務(wù)員交出需要冷飲的統(tǒng)計(jì),數(shù)字如下,有6個(gè)人要可可,有5個(gè)人要咖啡,有5個(gè)人要果汁,有3個(gè)人既要可可又要果汁,有一個(gè)人既要可可、咖啡又要了果汁.

求證其中一定有一個(gè)人什么冷飲也沒(méi)有要.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  127

從圖中可以看出:參加數(shù)學(xué)、作文競(jìng)賽的總?cè)藬?shù)為312+353-292=373(人)

從而可知這兩科都沒(méi)有參加的人數(shù)為500-373=127(人).

2.  224

    3.  10.75

把兩個(gè)正方形面積加起來(lái)得2²+3²=13,但其中多算了一塊陰影部分的面積,這部分面積為1.5²=2.25(平方厘米),故兩個(gè)正方形蓋住的總面積是2²+3²-1.5²=13-2.25=10.75(cm²)

4.  15

不超過(guò)30的3的倍數(shù)有 (個(gè)),不超過(guò)30的4的倍數(shù)有 (個(gè));不超過(guò)30的3´4=12的倍數(shù)有 (個(gè)),因此不超過(guò)30的正整數(shù)中是3的倍數(shù),或是4的倍數(shù)的數(shù)共有10+7-2=15(個(gè)).

5.  41

如圖所示,易知總?cè)藬?shù)為(15+12-7)+21=41(人).

    6.  219

由容斥原理知,蓋住桌面的總面積為100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).

7.  23;22

8.  333

在1~1000的自然數(shù)中,2的倍數(shù)有 (個(gè)),3的倍數(shù)有 (個(gè)),2´3=6的倍數(shù)共有 (個(gè)),故是2或是3的倍數(shù)共有500+333-166=667(個(gè)),從而既不是2的倍數(shù),又不是3的倍數(shù)的數(shù)共有1000-667=333(個(gè)).

9.  28

小于1000的自然數(shù)中,是完全平方數(shù)的有1²、2²、…,31²共31個(gè).其中1²=1³,8²=4³,27²=9³.又是完全立方數(shù),故符合條件的數(shù)有31-3=28(個(gè))

10.  121

由容斥原理知,或訂“作文報(bào)”或訂“數(shù)學(xué)報(bào)”或訂“科學(xué)愛(ài)好者”的總?cè)藬?shù)為

510+330+120-270+58=748(人)

故三種報(bào)刊都沒(méi)有訂的人數(shù)為960-748=212(人).

11.        (1)如圖,用矩形表示參賽的70個(gè)學(xué)生,而用三個(gè)圓表示分別在跑、

跳、投中得獎(jiǎng)的人.

設(shè)x為只得短跑獎(jiǎng)的人數(shù),y為只在短跑和彈跳兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù),z為只在彈跑與投擲兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù),u為只在投擲和短跑兩項(xiàng)得獎(jiǎng)的人數(shù).則有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑獎(jiǎng)的有11人.

(2)得二次獎(jiǎng)的人數(shù)為y+z+u=8+9+7=24(人).

(3)因至少得一次獎(jiǎng)的人數(shù)為x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一項(xiàng)獎(jiǎng)均未得的人數(shù)為70-62=8(人).

    13.  在1~1994中,能被5整除的個(gè)數(shù)為 ;能被6整除的個(gè)數(shù)為 ;能被7整除的個(gè)數(shù)為 ;能被5´6=30整除的個(gè)數(shù)為 ;能被5´7=35整除的數(shù)為 ;能被6´7=42整除的個(gè)數(shù)為 ;能被5´6´7=210整除的個(gè)數(shù)為 .

根據(jù)容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,從而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)為1994-854=1140(個(gè)).

14.  要了冷飲的總?cè)藬?shù)為6+5+5-3-2-3+1=9(人),但總?cè)藬?shù)為10人,故一定有一個(gè)人什么冷飲也沒(méi)有要.