一些復(fù)雜問題的解決，常常需要把它拆分成幾個子問題，或者，把它簡單化，模型化，以便于用數(shù)學(xué)工具來處理。在行程問題中，有一種勻速運(yùn)動在兩點(diǎn)之間且往復(fù)進(jìn)行的類型，因?yàn)檫\(yùn)動者往復(fù)運(yùn)行在兩點(diǎn)之間，那么它的運(yùn)動軌跡必然相互掩蓋而難于直觀地分析，如果有兩個運(yùn)動者，更是如此。這時，我們引入時間變量，“拉伸”空間，使得它的軌跡看起來不重復(fù)了，從而便于分析處理。下面就結(jié)合一個實(shí)例談一談這一獨(dú)特的分析方法。

　　A的速度為30千米／小時，B的速度為20千米／小時，A和B同時從甲地出發(fā)到乙地，他們先后到乙地后又返回甲地……如此往復(fù)來回運(yùn)動。已知A與B第二次迎面相遇與A第二次追上B的兩點(diǎn)相距45千米，甲乙兩地相距多少千米？

　　A與B在甲、乙兩地來回運(yùn)動，我們試圖把它的行蹤直觀地展示出來，但運(yùn)動是往復(fù)進(jìn)行的。就有后面的運(yùn)動軌跡對前面運(yùn)動軌跡的“掩蓋”。由此，我們引入時間維度，從而拉伸A和B的運(yùn)動軌跡，使其每一個全程運(yùn)動軌跡不重復(fù)前次空間地呈現(xiàn)在我們眼前，這類似于物理學(xué)里的“擺”，在運(yùn)動中的擺里裝上細(xì)沙，其下置一長方形木板作勻速拉伸，這樣擺的來回往復(fù)運(yùn)動就留下了它自己的“足跡”。見圖1。

　　此題中，我們設(shè)想有兩擺互不影響地同時擺動，擺長不一樣，速度也不一樣，作出其軌跡，如圖2。

　　A為“――”B為“……”，A速30千米／小時，B速20千米／小時，上方為甲地，下方為乙地。按時間維度的坐標(biāo)作出它們各自的運(yùn)動軌跡。由于甲乙相距一定。VA∶VB=30∶20，所以行一個全程，A用的時間tA與B用的時間tB之間tA∶tB=2∶3，A行完6個全程時，B剛好行完4個全程，時間一定時，他們的行程比是3∶2。

　　由圖2可觀察到，A與B第一次迎面相遇在M點(diǎn)，第二次迎面相遇在N點(diǎn)。其中我們只須考察N點(diǎn)，由圖2知，A與B第一次追上相遇（A與B同向同時達(dá)到一點(diǎn)）在H點(diǎn)。實(shí)際上2與3的最小公倍數(shù)是6，故在6小時處相遇（同向），可以推想，在第12時時，A和B又一次同向相遇，且相遇點(diǎn)類似地在甲地（H′點(diǎn)）。在圖上則相差一個周期，必須指出的是H、H′，其實(shí)就是指甲地，它們并無空間上的位移，于是我們把它“移”到H0點(diǎn)，則NH0=45千米。

　　我們觀察N點(diǎn)，也就是AB第二次迎面相遇的這一時刻，此時，由圖2可知，A已行了2個全程還多，B則行了1個全程多。相遇時，他們合計(jì)共行了4個全程。在一定的時間內(nèi)，A、B共行了4個全程。他們的貢獻(xiàn)與其

　

　　前述H0即為題目所述第二次、第三次……追上相遇的地點(diǎn)，故NH0=

　　答：（第二）全程長112.5千米。

　　需要指出的是，本題借助波形圖解題，所畫曲線與波所描述的物體的擺動并不一致，我們只取其形式，展示物體運(yùn)動的軌跡，其實(shí)我們假設(shè)A、B均是勻速運(yùn)動的。與擺的運(yùn)動完全不同，所以，不能套用物理學(xué)里的一些關(guān)于位移的公式。本題是取其形式，舍其實(shí)質(zhì)，運(yùn)用其思想，幫助數(shù)學(xué)解題，其鍛煉思維能力的作用也是顯而易見的。