宋代是中國古代數(shù)學(xué)最輝煌的時期之一。北宋大科學(xué)家沈括的名著《夢溪筆談》中，有10多條有關(guān)數(shù)學(xué)的討論，內(nèi)容既廣且深，堪稱我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶。

    沈括最重要的數(shù)學(xué)探討是隙積術(shù)和會圓術(shù)。隙積術(shù)在我國數(shù)學(xué)史上開辟了高階等差級數(shù)求和的研究領(lǐng)域，對高階等差級數(shù)的研究始自沈括。

    所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒壇、疊起來的棋子等，這類堆積體整體上就像一個倒扣的斗，與平截頭的長方錐（芻童）很像。但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式。沈括經(jīng)過思考后，發(fā)現(xiàn)了正確的計算方法。他以堆積的酒壇為例說明這一問題：設(shè)最上層為縱橫各2個壇子，最下層為縱橫各12個壇子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒壇共11層；每個酒壇的體積不妨設(shè)為1，用芻童體積公式計算，總體積為3784／6，酒壇總數(shù)也應(yīng)是這個數(shù)。顯然，酒壇數(shù)不應(yīng)為非整數(shù)，問題何在呢？沈括提出，應(yīng)在芻童體積基礎(chǔ)上加上一項“（下寬－上寬）×高／6”，即為110／6，酒壇實際數(shù)應(yīng)為（3784＋110）／6＝649。加上去的這一項正是一個體積上的修正項。在這里，沈括以體積公式為基礎(chǔ)，把求解不連續(xù)的個體的累積數(shù)（級數(shù)求和），化為連續(xù)整體數(shù)值來求解，可見他已具有了用連續(xù)模型解決離散問題的思想。

    會圓術(shù)是對圓的弧矢關(guān)系給出的比較實用的近似公式，主要思想是局部以直代曲。沈括進一步應(yīng)用《九章算術(shù)》中弧田的面積近似公式，求出弧長，這便是會圓術(shù)公式。沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當(dāng)圓心角小于45°時，相對誤差小于2％，所以該公式有較強的實用性。這是對劉徽割圓術(shù)以弦（正多邊形的邊）代替圓弧思想的一個重要佐證，很有理論意義。后來，郭守敬、王恂在歷法計算中，就應(yīng)用了會圓術(shù)。

　　在《夢溪筆談》中，沈括還應(yīng)用組合數(shù)學(xué)法計算得出圍棋可能的局數(shù)是3 361種，并提出用數(shù)量級概念來表示大數(shù)3 361的方法。沈括還在書中記載了一些運籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來搶救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、運輸，最后又將建筑垃圾填河成路的方法來修復(fù)皇宮等。沈括對數(shù)的本質(zhì)的認識也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數(shù)。”顯然他否定了數(shù)的神秘性，而肯定了數(shù)與物的關(guān)系。他還指出：“然算術(shù)不患多學(xué)，見簡即用，見繁即變，乃為通術(shù)也。”