大家知道，兩個(gè)抽屜要放置三只蘋(píng)果，那么一定有兩只蘋(píng)果放在同一個(gè)抽屜里，更一般地說(shuō)，只要被放置的蘋(píng)果數(shù)比抽屜數(shù)目大，就一定會(huì)有兩只或更多只的蘋(píng)果放進(jìn)同一個(gè)抽屜，可不要小看這一簡(jiǎn)單事實(shí)，它包含著一個(gè)重要而又十分基本的原則――抽屜原則.
   
    1．抽屜原則有幾種最常見(jiàn)的形式:

    原則1 如果把n+k(k≥1)個(gè)物體放進(jìn)n只抽屜里，則至少有一只抽屜要放進(jìn)兩個(gè)或更多個(gè)物體： ____原則本身十分淺顯，為了加深對(duì)它的認(rèn)識(shí)，我們還是運(yùn)用反證法給予證明；如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，這不可能.

    原則雖簡(jiǎn)單，巧妙地運(yùn)用原則卻可十分便利地解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、甚至感到無(wú)從下手的問(wèn)題，比如說(shuō)，我們可以斷言在我國(guó)至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不超過(guò)4秒鐘，這是個(gè)驚人的結(jié)論，該是經(jīng)過(guò)很多人的艱苦勞動(dòng)，統(tǒng)計(jì)所得的吧！不，只須我們稍動(dòng)手算一下：不妨假設(shè)人的壽命不超過(guò)4萬(wàn)天（約110歲，超過(guò)這個(gè)年齡數(shù)的人為數(shù)甚少），則10億人口安排在8億6千4百萬(wàn)個(gè)“抽屜”里，根據(jù)原則1，即知結(jié)論成立.

    下面我們?cè)倥e一個(gè)例子：

    例1 幼兒園買來(lái)了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同，試說(shuō)明道理. 解 從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長(zhǎng)頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長(zhǎng)頸鹿），（長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿）。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原則1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同。

    原則2 如果把mn+k(k≥1)個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜至多放進(jìn)m+1個(gè)物體.證明同原則1相仿.若每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能。

    原則1可看作原則2的物例（m=1）

    例2 正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個(gè)面顏色相同. 證明把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜，把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體，那么6=2×2+2，根據(jù)原則二，至少有三個(gè)面涂上相同的顏色。 例3 把1到10的自然數(shù)擺成一個(gè)圓圈，證明一定存在在個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和數(shù)大于17.

    證明 如圖12-1，設(shè)a1，a2，a3，…，a9，a10分別代表不超過(guò)10的十個(gè)自然數(shù)，它們圍成一個(gè)圈，三個(gè)相鄰的數(shù)的組成是（a1，a2，a3），（a2，a3，a4），（a3，a4，a5），…,（a9，a10，a1）,（a10，a1，a2）共十組.
   
    現(xiàn)把它們看作十個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜的物體數(shù)是
a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…a9+a10+a1，a10+a1+a2,
由于（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2）
=3(a1+a2+…+a9+a10)
=3×(1+2+…+9+10)

    ――根據(jù)原則2,至少有一個(gè)括號(hào)內(nèi)的三數(shù)和不少于17,即至少有三個(gè)相鄰的數(shù)的和不小于17.

    原則1、原則2可歸結(jié)到更一般形式：

    原則3 把m1+m2+…+mn+k(k≥1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜里，那么或在第一個(gè)抽屜里至少放入m1+1個(gè)物體，或在第二個(gè)抽屜里至少放入m2+1個(gè)物體，……，或在第n個(gè)抽屜里至少放入mn+1個(gè)物體。

    證明

    假定第一個(gè)抽屜放入物體的數(shù)不超過(guò)m1個(gè)，第二個(gè)抽屜放入物體的數(shù)不超過(guò)m2個(gè)，……，第n個(gè)抽屜放入物體的個(gè)數(shù)不超過(guò)mn，那么放入所有抽屜的物體總數(shù)不超過(guò)m1+m2+…+mn個(gè)，與題設(shè)矛盾。

    例4 有紅襪2雙，白襪3雙，黑襪4雙，黃襪5雙，藍(lán)襪6雙（每雙襪子包裝在一起）若取出9雙，證明其中必有黑襪或黃襪2雙。

    證明 除可能取出紅襪、白襪3雙外.還至少?gòu)钠渌�三種顏色的襪子里取出4雙，根據(jù)原理3，必在黑襪或黃襪、藍(lán)襪里取2雙。

    上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問(wèn)題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要作用.需要說(shuō)明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少。

    2．制造抽屜是運(yùn)用原則的一大關(guān)鍵

    首先要指出的是，對(duì)于同一問(wèn)題，常可依據(jù)情況，從不同角度設(shè)計(jì)抽屜，從而導(dǎo)致不同的制造抽屜的方式.

    例5 在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)，任意給定13個(gè)點(diǎn)，試證：其中必有4個(gè)點(diǎn)，以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊開(kāi)面積不超過(guò) （假定四點(diǎn)在一直線上構(gòu)成面積為零的四邊形）.

    證明

    如圖12-2把正方形分成四個(gè)相同的小正方形。因13=3×4+1，根據(jù)原則2，總有4點(diǎn)落在同一個(gè)小正方形內(nèi)（或邊界上），以此4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)小正方形的面積，也就不超過(guò)整個(gè)正方形面積的 。

    事實(shí)上，由于解決問(wèn)題的核心在于將正方形分割成四個(gè)面積相等的部分，所以還可以把正方形按圖12-3（此處無(wú)圖）所示的形式分割.

    合理地制造抽屜必須建立在充分考慮問(wèn)題自身特點(diǎn)的基礎(chǔ)上.

    例6 在一條筆直的馬路旁種樹(shù)，從起點(diǎn)起，每隔一米種一棵樹(shù)，如果把三塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小牌分別掛在三棵樹(shù)上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹(shù)之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？

    解 如圖12-4（設(shè)掛牌的三棵樹(shù)依次為a、b、c.ab=a，bc=b，若a、b中有一為偶數(shù)，命題得證.否則a、b均為奇數(shù)，則ac=a+b為偶數(shù)，命題得證.

    換一個(gè)角度考慮：給每棵樹(shù)上編上號(hào)，于是兩棵樹(shù)之間的距離就是號(hào)碼差，由于樹(shù)的號(hào)碼只能為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，那么掛牌的三棵樹(shù)號(hào)碼至少有兩個(gè)同為奇數(shù)或偶數(shù)，它們的差必為偶數(shù)，問(wèn)題得證.

    后一證明十分巧妙，通過(guò)編號(hào)碼，將兩樹(shù)間距離轉(zhuǎn)化為號(hào)碼差.這種轉(zhuǎn)化的思想方法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法。

    例7 從自然數(shù)1，2，3，…99，100這100個(gè)數(shù)中隨意取出51個(gè)數(shù)來(lái)，求證：其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù). 分析設(shè)法制造抽屜：（1）不超過(guò)50個(gè)；（2）每個(gè)抽屜的里的數(shù)（除僅有的一個(gè)外），其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，一個(gè)自然數(shù)的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式入手.

    解 設(shè)第一個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù)：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二個(gè)抽屜時(shí)放進(jìn)數(shù)：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù)：5，5×2，5×22，5×23，5×24；………………第二十五個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù)：49，49×2；第二十六個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù)：51.………………第五十個(gè)抽屜里放進(jìn)數(shù)：99.那么隨意取出51個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)同屬一個(gè)抽屜，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).

    制造抽屜并非總是一帆風(fēng)順的，有時(shí)要邊制造邊調(diào)整、改進(jìn).

    例8 任意給定7個(gè)不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).

    分析 注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜，標(biāo)以[0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個(gè)自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]，[9]四個(gè)抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).

    3．較復(fù)雜的問(wèn)題須反復(fù)地運(yùn)用抽屜原則，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題.

     例9 以（x，y，z）表示三元有序整數(shù)組，其中x、y、z為整數(shù)，試證：在任意七個(gè)三元整數(shù)組中，至少有兩個(gè)三元數(shù)組，它們的x、y、z元中有兩對(duì)都是奇數(shù)或都是偶數(shù).

    分析 設(shè)七個(gè)三元素組為a1（x1，y1，z1）、a2（x2，y2，z2）、…、a7（x7，y7，z7）.現(xiàn)在逐步探索，從x元開(kāi)始，由抽屜原則，x1，x2，…，x7這七個(gè)數(shù)中，必定有四個(gè)數(shù)具有相同的奇偶性，不妨設(shè)這四個(gè)數(shù)是x1，x2，x3，x4且為偶數(shù)，接著集中考慮a1、a2、a3、a4這四組數(shù)的y元，若比如y1，y2，y3，y4中有兩個(gè)是偶數(shù)，則問(wèn)題已證，否則至多有一個(gè)是偶數(shù)，比如y4是偶數(shù)，這時(shí)我們?cè)賮?lái)集中考慮a1、a2、a3的z元.在z1，z2，z3中，由抽屜原則必有兩個(gè)數(shù)具有相同的奇偶性，如z1、z2，這時(shí)無(wú)論它們是奇數(shù)，還是偶數(shù)，問(wèn)題都已得到證明.

    下面介紹一個(gè)著名問(wèn)題. 例10 任選6人，試證其中必有3人，他們互相認(rèn)識(shí)或都不認(rèn)識(shí). 分析 用a、b、c、d、e、f表示這6個(gè)人，首先以a為中心考慮，他與另外五個(gè)人b、c、d、e、f只有兩種可能的關(guān)系：認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)，那么由抽屜原則，他必定與其中某三人認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)，現(xiàn)不妨設(shè)a認(rèn)識(shí)b、c、d三人，當(dāng)b、c、d三人都互不認(rèn)識(shí)時(shí)，問(wèn)題得證；當(dāng)b、c、d三人中有兩人認(rèn)識(shí)，如b、c認(rèn)識(shí)時(shí)，則a、b、c互相認(rèn)識(shí)，問(wèn)題也得證.

    本例和上例都采用了舍去保留、化繁為簡(jiǎn)、逐步縮小考慮范圍的方法.

    例11 a，b，c，d為四個(gè)任意給定的整數(shù)，求證：以下六個(gè)差數(shù)b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c的乘積一定可以被12整除.

    證明 把這6個(gè)差數(shù)的乘積記為p，我們必須且只須證明：3與4都可以整除p，以下分兩步進(jìn)行.

    第一步，把a(bǔ)，b，c，d按以3為除數(shù)的余數(shù)來(lái)分類，這樣的類只有三個(gè)，故知a，b，c，d中至少有2個(gè)除以3的余數(shù)相同，例如，不妨設(shè)為a，b，這時(shí)3可整除b-a，從而3可整除p.

    第二步，再把a(bǔ)，b，c，d按以4為除數(shù)的余數(shù)來(lái)分類，這種類至多只有四個(gè)，如果a，b，c，d中有二數(shù)除以4的余數(shù)相同，那么與第一步類似，我們立即可作出4可整除p的結(jié)論. 設(shè)a，b，c，d四數(shù)除以4的余數(shù)不同，由此推知，a，b，c，d之中必有二個(gè)奇數(shù)（不妨設(shè)為a，b），也必有二個(gè)偶數(shù)（設(shè)為c，d），這時(shí)b-a為偶數(shù)，d-c也是偶數(shù)，故4可整除(b-a)(d-c)，自然也可得出4可整除p.

    如果能進(jìn)一步靈活運(yùn)用原則，不僅制造抽屜，還根據(jù)問(wèn)題的特征，制造出放進(jìn)抽屜的物體，則更可收到意想不到的效果.

    例12 求證：從任意n個(gè)自然數(shù)a1，a2，…，an中可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和是n的倍數(shù).

    分析：以0，1，…，n-1即被n除的余數(shù)分類制造抽屜的合理的，但把什么樣的數(shù)作為抽屜里的物體呢？扣住“和”，構(gòu)造下列和數(shù)：

    s1=a1, s2=a1+a2, s=a1+a2+a3, ………… sn=a1+a2+…+an，
   
    其中任意兩個(gè)和數(shù)之差仍為和數(shù)，若他們之中有一是n的倍數(shù)，問(wèn)題得證；

    否則至少有兩個(gè)數(shù)被n除余數(shù)相同，則它們的差即它們中若干數(shù)（包括1個(gè)）的和是n的倍數(shù)，問(wèn)題同樣得證.

    例13 910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶，證明：不論怎樣排列，紅藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一種：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有兩組（四行）每組的兩行完全相同.

    解 910瓶紅、藍(lán)墨水排成130行，每行7瓶，對(duì)一行來(lái)說(shuō)，每個(gè)位置上有紅藍(lán)兩種可能，因此，一行的紅、藍(lán)墨水排法有27=128種，對(duì)每一種不同排法設(shè)為一種“行式”，共有128種行式.現(xiàn)有130行，在其中任取129行，依抽屜原則知，必有兩行a、b行式相同.除a、b外余下128行，若有一行p與a行式相同，知滿足（1）至少有三行a、b、p完全相同，若在這128行中設(shè)直一行5a行或相同，那么這128行至多有127種行式，依抽屜原則，必有兩行c、d具有相同行式，這樣便找到了（a、b），（c、d）兩組（四行）,且兩組兩行完全相同.