三刀如何切

　　羅杰小姐的想法是，乳酪是個圓柱狀固體，可以沿水平方向從乳酪的半腰處把它一刀兩半，如圖2―1所示。按圖中虛線的切法，三刀可以把乳酪八等分。這種切法的前提是，每刀之間互不影響，換言之，先被切下的每一塊都不可挪動。還有一種切法是，一刀一刀地切，每切一刀時，可以挪動被切下的部分，可以重新安排每部分之間的相互位置。對本題來說，這種切法也可以三刀把乳酩八等分。具體切法是：先一分為二，再把兩部分摞起來切，二分為四，再把四部分摞起來切，四分為八。

　　圖2-1

　　羅杰小姐的想法很簡單，甚至可以說極其平常。但是循著她的思路去思考，我們很快會豁然領悟：可以利用計算有限差分的方法來探討切割問題并用數學理論去證明它。有限差分的計算對于求數列的通項公式是一個有力工具。涉及數列的問題在實際生活中觸手可及，利用計算機來解決又非常迅速，所以這類問題越來越引起人們的極大興趣。

　　羅杰小姐切乳酪的最初想法是單純經過乳酪上表面的中心垂直地切。乳酪的上表面像一張煎餅一樣是個平面。那么我們就不妨試一下，簡單地切一張煎餅會得出一個什么樣的數列。如果每一刀都經過煎餅的中心，那么很顯然，切n次最多得到2n塊。

　　是否對于任何封閉曲線構成的平面圖形切n次最多都只能得到2n塊？不――如圖2―2所示，這是一個很容易畫出來的非圓圖形。對于這個圖形，一刀你就能切下很多塊。那么有沒有可能畫出這樣一個圖形，使得切一刀可得到彼此全等的數量一定的幾塊？如果有可能，它的周邊要具有什么特性？ 如果每一刀的切法不一樣，那么切煎餅的問題便會復雜了，你不停地切下去很快就會發現，到n=3的時候，得出的結果已超過2n塊。這里我們暫不考慮切下的每一塊是否全等或者面積是否相等。圖2―3表示出當n=1、2、3、4時，最多能得到多少塊――2、4、7、11。

　　圖2-3

　　這里，n代表所切的次數。從n=0開始，前十次切出的塊數是1、2、4、7、l1、16、22、29、37、46……請注意第一列差分是1、2、3、4、5、6、7、8、9……第二列差分是1、1、l、1、1、1、l、1……從這里我們可以明顯地看出，數列的通項對于切的次數n是二次函數。

　　我們之所以說“明顯地看出”，是因為通過有限差分的計算得出的公式并不能保證它對于無窮數列同樣成立，亦即科學的證明不可或缺。當然對于這個切煎餅的公式，用數列歸納法即可輕而易舉證明之。

　　舉一反三，你可以舉出許許多多類似的問題，有些問題得出的數列、通項公式及其數學證明都很有意思。這里我們不妨聊舉數例。對于下列五種情形，每種情況下最多能得出多少份？

　　1．在馬洞形(horsehoe)的煎餅上切n刀。

　　2．對一個球體、或對一個圓柱體切n次(允許水平方向切)。

　　3．用圓形的餅干切刀(circular cookie cutter)對煎餅切n次。

　　4．對圓環形煎餅(中心有一個圓孔)切n次。

　　5．對油炸圈餅(圓環體)切n次(允許水平方向切)。

　　請按照前面提到的兩種不同切法來解決這些問題，看看答案如何變化。