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小學生趣味數學題九十一(雞兔同籠)

2009-02-19 13:45:02      下載試卷

  雞兔同籠問題是一類重要的算術應用題,在現代生活中隨處可見。通常在問題里既沒有兔,也沒有雞,更不會把雞和兔關進同一個籠子。為什么把它叫做“雞兔同籠”呢?

  這個名稱,是從古時候傳下來的。在中國古代數學書《孫子算經》里,有這樣一個問題:

  今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問雉、兔各幾何?

  題目中的“雉”(讀成“zhì),就是野雞。唐代文學家韓愈在他的文章《諱辨》里寫道,“[漢]諱呂后名雉為野雞。”漢高祖劉邦的妻子呂后的名字叫做“雉”,當時人們忌諱提到皇后的名字,就把動物“雉”叫做野雞。

  《孫子算經》里這道題目的意思是說,現在有一些野雞和兔子,關在同一只籠子里,從上面看,共有35個頭;從下面看,共有94只腳。問有多少只野雞、多少只兔子。

  這就是最早的雞兔同籠問題。解答這類問題,通常用置換法。

  先暫時假定籠子里全是野雞,那么每個頭配2只腳,總數35個頭,共有70只腳。

  實際上有94只腳,相差24只腳。

  1只野雞換1只兔子,頭數不變,腳數加2

  要能補足24只腳,需要換進12只兔子。

  共有35只動物,除去12只兔子,還剩23只,都是野雞。

  所以,籠中共有雉23只,兔12只。

  以上解法的思路具有普遍性,適用于解答很多同類問題。不一定是雞和兔子,可以是任何兩樣不同的東西;不一定是頭數和腳數,可以是另外兩種和,例如總的件數和總的價錢,等等。

  在《孫子算經》原書里,用了一種別致的簡便解法:

  取腳數94的一半,得47

  用腳數之半47減去頭數35,得12,這就是兔子的只數;

  再拿頭數35減去兔子的只數12,得23,就是雉的只數。

  答案完全正確。道理對不對呢?

  設想籠子里所有野雞都提起一條腿,集體表演“金雞獨立”;所有兔子都提起兩條前腿,集體操練“站樁功”。

  這時,每個野雞著地的腳數是1,等于頭數;每個兔子著地的腳數是2,等于頭數加1

  大家各拿自己減半的腳數,減去自己的頭數,所得的差,每個野雞為0,每個兔子為1

  把各自的差統統加起來,得到總腳數的一半與總頭數的差,一定等于兔子的只數。

  由此可見,原書解法非常巧妙,不但適用于雞和兔,也適用于任何其他兩腳動物和四腳動物,例如仙鶴和烏龜,鴨子和老鼠,駝鳥和大象,等等。

  《孫子算經》是不是一位姓孫的人編寫的?誰也說不清楚,不知道這本書的作者是誰,只知道大約成書于公元400年前后。

  早在1600年以前,中國就有了雞兔同籠這類有趣而又實用的題型,并且提出了腳數減半的巧妙解法,可見古代人也是很喜歡妙題巧解的。

來源:網絡

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