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組合與推理問題

2009-04-22 16:46:36      下載試卷

  下圖中黑白相間的圖樣乍看起來可能看不出任何規則,其實整個圖樣由第一行開始依據一項簡單的規則逐行產生一個圖樣。

  當你已找出該圖樣的規則并且依此規則再推導出幾行之后,試著判定一行中是否有可能產生以下情況:

  (1)全為黑球。

  (2)或全為白球。

  (3)或只出現一個黑球。

  依據此一規則加以推算,一列中的圖樣是否有可能重復出現? (答案見109頁)

 

 

解答與分析

  自第2行起,每一個球的顏色由其正上方(上一行)左右兩球的顏色決定。如果上一行中的兩個球顏色相同,則這一行所對應的球為白色,如果顏色不同則為黑色。

 

 

  每一行球視為一首尾相連的帶子,所以最右端的球與最左端的球相連接。

 

  因此在決定新的一行中最后一球的顏色時,由上一行最后一球與最前面一球的顏色來決定。在第1行之后黑球數及白球數必定為偶數,為什么?

  若出現一行中全為白球則其上一行必定全為黑球或全為白球,所以與出現一行全為白球與一行全為黑球的概率有關。如果一行中全為黑球則其上一行必定是黑球與白球相間,從下面的討論中可以看出這種情況不可能發生。

 

  假設6為白球則1必定要為黑球,以使得第2行的最右端為黑球。此時2必須為黑球,如此才能使第2行的最左端為白球。2為黑球則3為白球,此又意味著4為白球,接著又意味著5為黑球,結果這造成5和6的顏色相反,這與下一行倒數第2個球為白色的事實相矛盾。同樣,如果第6個球的顏色為黑色,則仍會產生相同的矛盾。

  只出現一個黑球的情況也不可能發生,因為這種情況必定會在上一行產生一個黑球及一個白球,經過簡單的推論后將發現最后多出一個黑球。

  這種規則的圖樣必定會在某一次排列時出現相同的一行。因為每一行中可能出現的圖樣數目有限,而應用該規則可連續不斷地產生新序列,所以必定會有重復的情形出現。

來源:網絡

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