那些手扛肩挑的年代

　　手算筆錄的時代，每前進一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪提出近200年之后，瑞士數學家歐拉證明了M31確實是一個素數，這是人們找到的第8個梅森素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數，歐拉也因此成為第二個在發現者名單上留名的人。讓人驚嘆的是，這是在他雙目失明的情況下，靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了“數學英雄”的美譽。法國大數學家拉普拉斯（P.Laplace）說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

　　100年后，法國數學家魯卡斯提出了一個用來判別Mp是否是素數的重要定理——魯卡斯定理，這為梅森素數的研究提供了有力的工具。1883年，數學家波佛辛（Pervushin）利用魯卡斯定理證明了M61也是素數–這是梅森漏掉了的。梅森還漏掉另外兩個素數：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數學家鮑爾斯（Powers）發現。

　　還記得梅森預測的四個素數嗎？其中M31已經為歐拉證明，M127則在魯卡斯提出定理時順帶證明，雖然中間漏掉了3個，但至少還有另外兩個：M67和M257是不是素數呢……

　　M67的證明又是一個精彩的故事。

　　1903年，數學家柯爾在美國數學學會的大會上作了一個報告。他先是專注地在黑板上算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個算式結果完全相同！換句話說，他成功地把267－1分解為兩個素數相乘的形式，從而證明了M67是個合數。

　　報告中，他一言未發，卻贏得了現場聽眾的起立鼓掌，更成了數學史上的佳話。閱讀這段歷史，我們懂得了什么叫做“事實勝于雄辯”。記者好奇地問他是怎樣得到這么精彩的發現的，柯爾回答“三年里的全部星期天”。他后來當選為美國數學協會的會長，去世后，該協會專門設立了“柯爾獎”，用于獎勵作出杰出貢獻的數學家。

　　1922年，數學家克萊契克驗證了M257并不是素數，而是合數（但他沒有給出這一合數的因子，直到20世紀80年代人們才知道它有3個素因子）。

　　于是乎，梅森的四個猜測獲得了兩正確、三遺漏和兩錯誤的成績，但這無損于他的光榮。在千年的探尋之旅中，偉大如歐拉也會犯錯誤，他在1750年宣布說找到了梅森的“遺漏”：M41和M47也是素數，但最終上M41和M47都不是素數。

　　直到1947年，對于p≤257的梅森素數Mp的正確結果才被確定，也就是當p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時，Mp是素數。現在這個表已經被反復驗證，一定不會有錯誤了。

　　我們看到，在手工計算的時代，人們一共找到了12個梅森素數。

　　計算機！計算機！

　　1930年，美國數學家雷默改進了魯卡斯的工作，給出了一個新的測試方法，即魯卡斯－雷默方法。很快地，計算機時代到來了，這一方法發揮了重要的作用。1952年，數學家魯濱遜（Robinson）等人將魯卡斯－雷默方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在短短幾小時之內，就發現了第13個、第14個，并在當年總共找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203和M2281。

　　其后，M3217在1957年被黎塞爾（Riesel）證明是素數；M4253和M4423在1961年被赫維茲（Hurwitz）證明是素數。

　　1963年，美國數學家吉里斯（Gillies）證明M9689和M9941是素數，這已經是第21和22個梅森素數。1963年9月6日晚上8點，當吉里斯通過大型計算機找到第23個梅森素數M11213時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，第一時間發布了這一重要消息，發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生更是激動地把所有從系里發出的信件都敲上了“211213－1是個素數”的郵戳。

　　1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節目播放，發布了布萊恩特?塔克曼（Bryant Tuckerman）使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數M19937的消息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構（包括我國的新華社）都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾（Noll）和尼科爾（ Nickel）使用CYBER174型計算機找到了第25個梅森素數：M21701。

　　超級計算機的引入加快了梅森素數的尋找腳步，但隨著素數P值的增大，每一個梅森素數的產生都更加艱難，各國科學家及業余研究者們之間的競爭變得越來越激烈。在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜正興致沖沖地宣布他們找到第26個梅森數M23209時，有人澆來一盆冷水：兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。心有不甘的他們又花了一個半月的時間“臥薪嘗膽”，使用Cray－1型計算機找到了第27個梅森素數M44497，這件事成了當時不少報紙的頭版新聞。

　　為了與美國人較量，英國的哈威爾實驗室也專門成立了一個研究小組來尋找更大的梅森素數。他們用了兩年時間，花了12萬英鎊的經費，于1992年3月25日找到了新的梅森素數M756839。但到了1994年1月14日，史洛溫斯基等人為美國再次奪回發現“已知最大素數”的桂冠——這一梅森素數是M859433。史洛溫斯基本人一共發現了7個梅森素數，他因此被人們稱為“素數大王”。

　　數學研究的深入更重于計算能力的提升，在搜尋梅森素數的同時，對梅森素數的分布規律的研究也在進行著，英、法、印、美、德等國的數學家都曾分別給出過關于梅森素數分布規律的猜測，但這些猜測都以近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均難如人意。中國數學家和語言學家周海中則是這方面研究的領先者，他運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式。著名的《科學美國人》雜志有一篇文章指出：這一成果為人們探究梅森素數提供了方便，是素數研究的一項重大突破。后來這項重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。

　　伴隨數學理論的改善，為了尋找梅森素數而使用的計算機也越來越強大，包括了著名的IBM360型計算機，和超級計算機Cray系列。1996年發現的M1257787是迄今為止最后一個由超級計算機發現的梅森素數，數學家使用了Cray T94，這也是人類發現的第34個梅森素數。

　　梅森素數的探尋之旅似乎正變得離普通人越來越遠，直到GIMPS時代的到來……