師：最近小強(qiáng)熱線里面,劉老漢遇到了一個(gè)難題。
（課件出示）我有兩根木料，現(xiàn)在要把它們鋸成同樣長(zhǎng)的小木料（小木料要整分米長(zhǎng)），不能剩余。每段小木料可以是幾分米長(zhǎng)？最長(zhǎng)是幾分米？
（學(xué)生獨(dú)立思考）
師：你有什么不明白的地方？
生：什么叫整分米長(zhǎng)？
師：誰(shuí)知道整分米長(zhǎng)？
生：整分米長(zhǎng)就是沒(méi)有多余的。
師：還有不明白的么？這個(gè)不能剩余是什么意思？
生：不能有浪費(fèi)的吧。
師：你能不能靜靜想一想，用我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)幫助這個(gè)劉老漢解決這個(gè)問(wèn)題。（表?yè)P(yáng)習(xí)慣好的學(xué)生）
師：獨(dú)立地靜靜地思考。
師：很多人都有智慧的結(jié)晶，我們小組內(nèi)輕輕地交流一下，你是怎樣想的？
（生小組討論，師巡視指導(dǎo)）
師：哪個(gè)組來(lái)向大家匯報(bào)一下？
生1：我代表我們組發(fā)言，我們組有三種答案：1、2、4。
師：就三種啊？我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)同學(xué)沒(méi)認(rèn)真在聽，人家智慧的結(jié)晶要認(rèn)真聽！
生1：12能被1、2、3、4、6、12整除，16能被1、2、4、8、16整除……
師：這么長(zhǎng)的一段話，你能聽明白嗎？
生：聽明白了。
師：聽明白了？那你們認(rèn)為3分米行不行？
生：不行。
師：為什么不行。
生：12分米的那根可以的。16分米的那根就有剩余了。
師：同意嗎？那5分米呢？
生：兩個(gè)都不行。
師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)討論，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：我發(fā)現(xiàn)就是（很難表達(dá)的樣子……）
師：很難表達(dá)是嗎？你手上東西拿得那么寶貝，是不是可以幫你說(shuō)明問(wèn)題。
生1：把16和12的因數(shù)分出來(lái)，再找出一樣的因數(shù)
師：聽清楚了么? 在你的草稿紙上找找看,根據(jù)他的意見.找好了馬上舉手。
(生獨(dú)立思考)
(展示一學(xué)生的作業(yè))
師：你是什么意思?
生：……公因數(shù)。
師：怎么寫？我覺(jué)得公有的公比較好。板書：公因數(shù)。你怎么想到的？
生：就是公有的數(shù)，公共的。
師：誰(shuí)聽不明白了？
生：就是兩組里面相同的數(shù)就是公因數(shù)。
師：同意么？
生：同意。
師：葛老師有個(gè)意見，他這樣的寫法，你們覺(jué)得還少點(diǎn)什么？前面應(yīng)該加上什么？
生：加上16的因數(shù)：和12的因數(shù)：。
師：你們的意思就是說(shuō)是16又是12的公因數(shù)
就可以了。而且16和12的公因數(shù)只有1、2、4三個(gè)。剛才我看到那個(gè)xx的材料里面用集合圈表示的方式。這種方式表示的話，你們會(huì)不會(huì)？
師：一起來(lái)吧。怎么寫，我們還是聽你說(shuō)吧？
（生寫1、2、4，在中間的集合圈）
生：8、16。
師：還有么？1、2、4不寫了？
生：他已經(jīng)寫到中間去了。
師：那這邊呢？
生：12、6、3。
師：沒(méi)了？
生：沒(méi)了。
師：這樣寫有什么好處？
生：這樣可以看得很清楚。
師：同意么？
生：同意。
師：他使我們很直觀很清楚的看出來(lái)，哪些是16和12的公因數(shù)。誰(shuí)是公因數(shù)，你們理解了沒(méi)有。
生：還有一個(gè)最大的公因數(shù)4。
師：今天這節(jié)課我們主要來(lái)學(xué)習(xí)公因數(shù)和最大公因數(shù)。現(xiàn)在我們來(lái)研究第二個(gè)問(wèn)題。
（出示兩句話：1、2、4是16和12共有的因數(shù)，所以他們是16和12的公因數(shù)。
在這些公因數(shù)中4是最大的公因數(shù)，所以它是16和12的最大公因數(shù)。）
（生讀）
師：我聽陳老師說(shuō)，我們語(yǔ)文里學(xué)過(guò)縮句。你能不能把這兩句也來(lái)縮成很簡(jiǎn)單的一句話？
師：反過(guò)來(lái)說(shuō)，有沒(méi)有什么意見？
生：沒(méi)有。
（師根據(jù)學(xué)生回答板述：1、2、4是16和12的公因數(shù)，4是16和12的最大公因數(shù)）
師：你現(xiàn)在對(duì)這個(gè)公因數(shù)和最大公因數(shù)理解了沒(méi)有？
生：理解了。
師：下面我們來(lái)練一練。不用草稿紙，看大屏幕。（出示12和15、20和5）請(qǐng)你快速判斷，下面這兩組數(shù)中有沒(méi)有公因數(shù)2？下面是第一小組的同學(xué)獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷。
生：沒(méi)有。
師：你來(lái)說(shuō)說(shuō)為什么？ 同意么？
生：同意。
師：那有沒(méi)有公因數(shù)3呢？
生：第一組里面有的，12有3、4、12，15有3、5、15。
師：你怎么這么快看出來(lái)，它們都有公因數(shù)3的？
生：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位的和能被3整除就是3的倍數(shù)。
師：那你們認(rèn)為第二組就沒(méi)有嘍？那第二組有哪些公因數(shù)？
生：有5。
師：我不喜歡說(shuō)話不完整的同學(xué)，你能不能說(shuō)完整。
生：20和5里面有公因數(shù)1和5。
師：你們的意見呢？
師：我們的數(shù)學(xué)思考就是要我們深入地想，全面地想，要說(shuō)完整。 那么，這個(gè)20除了我們剛才講的1和5外，還有哪些因數(shù)？
師：我們班通過(guò)剛才幫劉老漢解決困難，學(xué)到了新知識(shí)。看來(lái)，這個(gè)助人為樂(lè)是利人也利已啊。
師：下面的時(shí)間我們主要來(lái)研究怎樣求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（出示：18和27的最大公因數(shù)是（））。每一個(gè)人你靜靜地想一想，你有幾種不同的方法？
（生獨(dú)立思考，師巡視指導(dǎo)）
師：小組內(nèi)交流一下，你們組有幾種不同的方法。
（小組內(nèi)交流）
生1：
生2：我覺(jué)得他可以用剛才學(xué)過(guò)的集合圈來(lái)表示。
生3：我的這種方法有限制。
師：他給人啟發(fā)。 你也有啟發(fā)了，你來(lái)說(shuō)。
生4：可以分解質(zhì)因數(shù)。
師：什么是分解質(zhì)因數(shù)。
（展示該生的作業(yè)）（生自己介紹）
師：××同學(xué)，這個(gè)方法你是怎么想出來(lái)的。
師：這種分解質(zhì)因數(shù)來(lái)求兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)在我們?nèi)私贪娴慕滩闹惺遣蛔饕蟮摹Ｔ谝郧暗睦辖滩睦锸欠浅?qiáng)調(diào)的。××同學(xué)一不小心就發(fā)現(xiàn)了科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理，真了不起。如果說(shuō)對(duì)他的方法感興趣的話，你課后可以跟他一起去研究研究。這些方法都是可以來(lái)幫助我們來(lái)求出他們的最大公因數(shù)。你掌握了沒(méi)有？會(huì)不會(huì)求？
師：下面比一比，我們六個(gè)小組來(lái)比一比完成信封里的作業(yè)紙。第一題，預(yù)備開始。
（小組開展競(jìng)賽）
師：做好馬上舉手。看清楚題目，不要一昧求快。
師：看來(lái)第一輪的比賽，第一組和第五組表現(xiàn)不錯(cuò)。繼續(xù)第二題開始。
（生獨(dú)立完成第二題）
師：比一比誰(shuí)做得又快，又對(duì)，又好。我們請(qǐng)第二組剛才表現(xiàn)得不是很好，派一個(gè)代表來(lái)說(shuō)。
（生匯報(bào)交流）
師：請(qǐng)仔細(xì)觀察每個(gè)組的兩個(gè)自然數(shù)及他們的最大公因數(shù)。你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：兩個(gè)自然數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的話，小的那個(gè)就是最大公因數(shù)。
師：他說(shuō)什么了？
師：舉例證明……。
生2：比如16和32。
生3：如果兩個(gè)數(shù)有一個(gè)是質(zhì)數(shù)的話，最大公因數(shù)就是1。
生4：不一定。如3和15。
生5：2和4。
師：還沒(méi)成熟。下面我還有個(gè)問(wèn)題：為什么8和9的最大公因數(shù)是1呢？
生6：兩個(gè)數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)。
師：一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)而且是相鄰最大公因數(shù)是1。（生自主討論）
師：舉例證明。
生7：有一個(gè)數(shù)是1的話，他的最大公因數(shù)就是1。
生8：最大的公因數(shù)一定在兩個(gè)數(shù)的相差之內(nèi)。
師：相差之內(nèi)是什么意思？
生8：相差之內(nèi)就是他們的差不可能大于其中的一個(gè)數(shù)。
師：有什么證據(jù)么？
生8：你隨便拿兩個(gè)數(shù)。
生9：我反對(duì)。21和4呢？
生8：最大公因數(shù)是1，21－4是17，1在17之內(nèi)的。
師：對(duì)的。我們把這個(gè)問(wèn)題，有興趣的話可以拿到以后去研究。這個(gè)問(wèn)題很值得我們探討。像這樣的兩個(gè)自然數(shù)他們的最大公因數(shù)是1，因數(shù)只有1。像這樣的兩個(gè)數(shù)，我們把他叫做互質(zhì)數(shù)。像這樣的互質(zhì)數(shù)，你們能不能舉個(gè)例子？
生：101、102。
師：你這個(gè)是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，可以找其他的么？
生：兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)就可以了。
師：舉個(gè)例子。不是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的可以么，一個(gè)質(zhì)數(shù)，一個(gè)合數(shù)行不行？
生：2和9。
師：兩個(gè)合數(shù)行不行？像這樣的研究你會(huì)發(fā)現(xiàn)是很有意思的，對(duì)我們以后要學(xué)習(xí)的知識(shí)起到很大的幫助。
師：學(xué)到這里，你覺(jué)得這堂課有什么收獲。誰(shuí)沒(méi)有發(fā)言的？
生：知道了什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。
師：那你說(shuō)什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。
師：繼續(xù)往下做。（出示思考題：我們家的貯藏室長(zhǎng)18dm，寬12 dm，如果要用邊長(zhǎng)是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的磚都是整塊）。你認(rèn)為正方形地磚的邊長(zhǎng)可以是（ ）分米？其中邊長(zhǎng)最大的是（ ）分米？）。
（生匯報(bào)）
師：如果說(shuō)我們剛才研究的是兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)，課后你們還可以去研究一下三個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)。
