第三講 數(shù)論的方法技巧之一

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國內(nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。

小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：

1．帶余除法：若a，b是兩個整數(shù)，b＞0，則存在兩個整數(shù)q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

且q，r是唯一的。

特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。

2．若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。

3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標準分解。

4．約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標準分解式為（1），則它的正約數(shù)個數(shù)為：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。

下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。

3.1  利用整數(shù)的各種表示法

　　對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：

　　1．十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

　　2．帶余形式：a=bq+r；

　　4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。

　　例1 紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數(shù)字？

　　解：設(shè)紅、黃、白、藍色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數(shù)可以寫成

　　1000a3+100a2+10a1+a0，

　　它的各位數(shù)字之和的10倍是

　　10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，

　　這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是

　　990a3+90a2-9a0=1998，

　　110a3+10a2-a0=222。

　　比較上式等號兩邊個位、十位和百位，可得

　　a0=8，a2=1，a3=2。

　　所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。

　　解：依題意，得

　　a+b+c＞14，

　　說明：求解本題所用的基本知識是，正整數(shù)的十進制表示法和最簡單的不定方程。

　　例3 從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？

　　解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，則

　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，

　　其中m，n是自然數(shù)。于是

　　c-d=18（m-n）。

　　上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個余數(shù)為r，則

　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

　　其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是

　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

　　因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除。

　　例4 求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個約數(shù)。

　　解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式

　　由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有

　　（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

　　由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故

　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因為a4+1≥3＞2，故由

　　（a3+1）（a4+1）=10

　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。

　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？

　　解：因為210=1024，211=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個數(shù)不多于10個，而1024=210，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。

　　說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。