3.2 枚舉法
枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。
運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾诸惖脑瓌t是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。
例6 求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。
分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。
設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以
x2+y2+z2≤10，
從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：
100，101，102，103，110，111，112，
120，121，122，130，200，201，202，
211，212，220，221，300，301，310。
不難驗(yàn)證只有100，101兩個(gè)數(shù)符合要求。
例7 將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？
對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。
N|100，所以N=10，20，25，50；
N|1000，所以N=100，125，200，250，500；
（4）當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。
綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。
說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。
（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。
例8 有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17。
因?yàn)?/span>17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：
①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8
④2，5，10 ⑤2，6，9 ⑥2，7，8
⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8
⑩3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8
(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即
3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。
這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。
例9 寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。
分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。
解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：
114，115，116，117，118，119，120，
121，122，123，124，125，126。
分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。
又m+2，m+3，…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。
解法2：設(shè)m為2，3，4，…，13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。
說明:我們還可以寫出
13！+2，13！+3，…，13！+13
（其中n！=1×2×3×…×n）這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來。
同樣，
（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。
