第八講 比和比例關(guān)系

　　比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個(gè)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ).有了“比”這個(gè)概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問(wèn)題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對(duì)“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.

　　這一講分三個(gè)內(nèi)容：

　　一、比和比的分配；

　　二、倍數(shù)的變化；

　　三、有比例關(guān)系的其他問(wèn)題.

　　8.1  比和比的分配

　　最基本的比例問(wèn)題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.

　　例1 甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的周長(zhǎng)相等.甲的長(zhǎng)與寬之比是3∶2，乙的長(zhǎng)與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.

　　解：設(shè)甲的周長(zhǎng)是2.

　　甲與乙的面積之比是

　　答：甲與乙的面積之比是864∶875.

　　作為答數(shù)，求出的比最好都寫(xiě)成整數(shù).

　　例2 甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問(wèn)他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？

　　解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價(jià)是

　　答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：

　　事實(shí)上，有稍簡(jiǎn)捷的解題思路.

　　解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.

　　不妨設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.

　　單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是

　　下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問(wèn)題，即“比的分配”問(wèn)題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.

　　例3 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

　　解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此

　　例4 加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？

　　解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他們分別需要完成的工作量是

　　所需時(shí)間是

　　700×3=2100分鐘）=35小時(shí) .

　　答：甲、乙、丙分別完成700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).

　　這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.

　　例9 某團(tuán)體有100名會(huì)員，男會(huì)員與女會(huì)員的人數(shù)之比是14∶11，會(huì)員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會(huì)員與女會(huì)員人數(shù)之比是：

　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，

　　那么丙有多少名男會(huì)員？

　　解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.

　　乙、丙兩組男會(huì)員人數(shù)是 56-24=32 （人）.

　　答：丙組有12名男會(huì)員.