一、整體感受

　　師：今天這節課，我們研究時正是圓。瞧，(教師出示一個．信封)這信封里就裝有一個圓，想看看嗎?

　　生(齊)：想!

　　師(從中摸出一個圓)：是圓嗎?

　　生：是。

　　師：現在，老師把它重新放回信封里，有信心把它從信封里摸出來嗎?

　　生：有!

　　師：那當然，如果信封里只有這一個圖形，誰都能摸出來。(生笑。)但問題是，信封里除了這個圓以外，還有其他平面圖形。想看看嗎?

　　生：想!

　　教師先后從信封中取出一些圖形(如圖1)，讓學生一一辨認。

　　師：現在，要從這一堆平面圖形中把圓摸出來，有難度嗎?

　　生(齊)：沒有!

　　師：為什么?

　　生：很簡單呀，圓是彎彎的，而其他圖形的邊都是直直的。

　　生：圓沒有角，而其他圖形都有角。

　　師：奇怪，為什么這些圖形都有角，而圓卻沒有呢?

　　生：因為這些圖形都是由直線圍成的……

　　師：不夠專業。

　　生：哦，是由線段圍咸的。

　　師：這就對了!我們把這些由線段圍成的平面圖形，叫做直線圖形。直線圖形都有角。圓是直線圖形嗎?

　　生：不是，它是由曲線圍成的。

　　師：所以，圓看起來特別一

　　生：光滑。

　　生：圓潤。

　　師：感覺真好!那么，該給這類由曲線圍成的，光滑、圓潤的平面圖形，取個怎樣的名稱呢?

　　生：曲線圖形。

　　師：沒錯!那現在，要從這一堆直線圖形中把圓這個唯一的曲線圖形摸出來，難不難?

　　生：不難。

　　生：找最光滑的摸就行了。

　　師：不過，問題可不像你們想象的那么簡單。因為信封里，還有幾個圖形呢。  (生頗感意外。)

　　教師出示圖2。

　　師：怎么樣，它也是由曲線圍成的吧?

　　生：是呀。

　　師：看起來也特別光滑?

　　生：是的。

　　師：看來，你們一定會把它也當做圓模出來。

　　生：不會!不會!

　　師：為什么?

　　生：因為圓很圓，但它不那么圓。

　　生：因為它有的地方凹，有的地方凸。

　　師：噢，這個圖形看起來有些凹凸不平。而圓呢?

　　生：圓不會凹進去，一直向外凸著。

　　生：圓看起來特別飽滿。

　　師：這個詞兒好!不過(教師接著從信封里取出圖3)，這兒還有一個圖形，它可沒有凹凸不平。怎么樣，夠光滑、夠飽滿吧?

　　生：嗯。

　　師：看來，這一回你們一定會把它當做圓摸出來了。

　　生：也不會!

　　師：為什么?

　　生：因為這個圖形看起來扁扁的，不像圓那么鼓。

　　師(將橢圓旋轉90°后)：現在看起來呢?

　　生：感覺這個圖形瘦瘦的。

　　師：那圓呢?  (教師出示圓片，并不停旋轉。)感覺怎么樣?

　　生：怎么轉，看起來都一樣。

　　生：而且，圓看起來特別勻稱。

　　師：小小的一個游戲，無非是為了讓大家認識到，和其他平面圖形相比，圓的確—生：很特別。

　　師：沒錯，和這些直線圖形相比——

　　生：圓是一個曲線圖形。

　　師：但是，和這些曲線圖形相比，圓看起來又特別——

　　生：光滑、飽滿、勻稱……

　　師：難怪2000多年前，偉大的古希臘數學家畢達哥拉斯在研究完大量的平面圖形后，發出這樣的感慨：在一切平面圖形中，圓最美。而且，2000多年過去了，這一觀點得到了越來越多的數學家乃至普通大眾的認可。那么，圓究竟美在哪兒?更進一步地，究竟是什么內在的原因，使得圓這種平面圖形看起來這樣光滑、飽滿、勻稱，以至于成為所有平面圖形中最美的一個?就讓我們一起帶著問題，深入地認識圓；研究圓。

　　二、尋根究底

　　師：圓的美，光靠看是不夠的，咱還得動手來畫。因為，畫圓的過程，正是我們體會它的特點、發現它的美的過程。  (教師簡單介紹圓規的構造后)課前，老師布置同學們試著用圓規畫過圓。現在，請大家試著在白紙上畫一個圓。(學生用圓規畫圓，教師巡視。)

　　師：應該說，絕大多數同學畫得都很棒。不過，也有失敗的作品。瞧，這個圓顯然變形了，這個則咧著嘴。大膽地猜一猜，這些同學之所以沒能成功地用圓規畫出一個圓，可能在哪兒出問題了?

　　生：可能是畫圓時，圓規的腳移動了。

　　師：不動，怎么畫出圓呀?

　　(生笑。)

　　生：是裝有針尖的腳動了!

　　師：那你得說清楚呀。同學們，你們覺得，針尖所在的腳能隨便動嗎?

　　生：不能!一動，畫出的圓一定會咧開嘴巴。

　　師：你試過?

　　生：是的!我失敗過好幾次呢。

　　師：經驗之談呀!當然，也有同學畫圓時，圓規兩腳都沒動，但也畫出圓來了，你們猜——

　　生：我知道!一定是圓規不轉，紙轉。

　　師：奇怪，你怎么知道?

　　生：我就這么試過。

　　師：看來，用圓規畫圓時，針尖得固定，這是寶貴的經驗。還有其他可能嗎?

　　生：也可能是他們畫圓時，圓規兩腳的夾角的角度變了。

　　師：角度變了，也就意味著——

　　生：圓規兩腳之間的距離變了。

　　師：看來，用圓規畫圓時，兩腳之間的距離不能變。現在，掌握了這些要求，有沒有信心比剛才畫得更好?

　　生：有!  (不少學生拿起圓規急著要畫。)

　　師：別著急!數學學習光會動手還不夠，咱還得——

　　生：動腦。

　　師：心有靈犀呀!第二次用圓規畫圓時，請大家邊畫邊思考：如果方法完全正確，用手中的圓規會不會畫出這樣一會兒凹、一會兒凸的曲線圖形?或者是扁扁的橢圓?

　　(教師依次指圖2、圖3。)

　　生：不會!

　　師：先別忙著下結論，還是帶著這些問題，邊畫邊細細體會吧!

　　(學生操作。教師巡視，了解學生的感受與思考。)

　　師：為什么畫不出這樣的曲線圖形，相信不少同學已經有了答案。不過，為了使大家感受更鮮明，我打算在黑板上也來畫一個。(教師畫完半個圓后，停下。)想象一下，照這樣畫下去，會畫出一會兒凹、一會兒凸的平面圖形嗎?

　　生：不會。

　　師：會畫出扁扁的橢圓嗎?

　　生：也不會。

　　師：為什么?

　　生：因為圓規兩腳間的距離沒有變。

　　師：哪兒到哪兒的距離沒有變?

　　生：就是從這兒(手指圓上的點)到這兒(手指圓心)的距離沒  有變。只要距離不變，就不會畫出一會兒凹、一會兒凸的平面圖形了。

　　師：光這樣說好像有點抽象。你能不能把這一不變的距離用一條線段表示出來?  (學生上臺，連接圓上任選一點與圓心，得到一條線段。)

　　師：可別小看這條線段，在這個圓里，它可是起著至關重要的決定性作用。有誰了解這條線段?

　　生：這條線段叫做半徑，可以用小寫字母r表示。

　　(教師板書，并引導學生在自己的圓內畫出一條半徑，標上字母r。)

　　師：有沒有補充?

　　生：半徑的一端連著圓心，另一端在圓上。

　　師：說得好!圓心是圓規畫圓時針尖留下的，可以用字母O示。更準確地說，半徑的另一端在圓上。 (教師板書，并引導學生在自己的圓上標出圓心及字母O。)

　　師：關于半徑，你們還知道些什么?

　　生：圓應該不只有一條半徑。

　　生：圓有無數條半徑。

　　生：半徑的長度都相等。

　　師：看來，關于半徑，同學們的發現還真不少。但是，沒有經過思維考量的數學直覺，算不上真正的數學知識。剛才有人說，圓有無數條半徑，同意的請舉手。

　　(全班學生都舉起了手)不過，為什么呢?  (一只只舉起的手慢慢放了下來。)

　　師：原來，大家都是蒙的!不過還好，至少還有幾只手直到現在還舉著。要不，先來聽聽他們的聲音，或許你會從中受到啟發。

　　生：剛才我只畫了一條，但如果我們繼續畫下去，永遠也畫不完，所以應該有無數條。

　　師：都同意?

　　生：同意!

　　師：有人就不同意。這是我自己班上的小陳同學在學完《圓的認識》后回去做的一次小實驗(教師呈現在半徑5厘米的圓上畫得密密麻麻的半徑)。瞧，他在這么大的圓里畫滿了半徑，最后一數，才524條。不對呀，不是說無數條嗎?

　　生：我覺得他的圓太小了，要是再大一點，那么畫的半徑就更多了。

　　師：哦，你是說大圓的半徑有無數條，而小圓的半徑則未必?(生一時語塞。)

　　生：不對，大圓小圓的半徑都應該是無數條。我想，主要是這位同學用的鉛筆太粗了。如果用細一半的鉛筆畫，應該可以畫一千多條；如果用再細一半的鉛筆畫，半徑就有兩千多條。這樣不斷地細下去，最終可以畫出無數條半徑。

　　師：多富有想象力呀!半徑可以不斷地細下去，直到無窮無盡。這樣想來，半徑當然應該有——

　　生：無數條。

　　生：我還有補充。因為半徑是從圓上任意一點發出的，所以圓有無數條半徑。

　　師：什么叫任意?

　　生：隨便。

　　師：那么，在一個圓上有多少個這樣隨便的點?

　　生：無數個。

　　生：有一個點，就能連出一條半徑。有無數個點，就能連出無數條半徑。

　　師：回過頭來看看，同樣是無數條半徑，經過我們的深入思考，大家感覺怎么樣?

　　生：我覺得更清楚了。

　　生：原來只是—種感覺，現在真正理解了。

　　師：數學學習可不能只浮子表面，或停留于直覺，還得學會問為什么。只有這樣，數學思考才會不斷走向深入。關于半徑，還有其他新的發現嗎?

　　生：它們的長度都相等。

　　師：同意的舉手。  (全班學生又一次都舉起了手。)了不起!不過——

　　生：為什么?  (話還沒說完，一大半學生就放下了手。聽課教師大笑。)

　　師：有這樣的追問意識挺好!不過，光等著別人來回答也不是個辦法。這樣吧，我稍作提醒：課前，數學老師讓咱們都帶了直尺，猜猜為什么?

　　生：可以量。  (學生操作后，發現圓的半徑的確都相等。)

　　生：其實根本不用量。因為畫圓時，圓規兩腳的距離一直不變，而兩腳的距離其實就是半徑的長，所以半徑的長度當然處處相等。

　　師：多妙的思路1看來，畫一畫、量一量是一種辦法，而借助圓規畫圓的方法進行推理，同樣能得出結論。通過剛才的研究，關于半徑，我們已有了哪些結論?

　　生：半徑有無數條，它們的長度都相等。

　　師：其實，關子圓，早在2000多年前，我國古代偉大的思想家墨子也得出過和我們相似的結論。只不過，他的結論是用古文描述的，不知道你們能不能看懂?  (課件出示：  “圓，一中同長也。”)生：一中，應該是指圓心。

　　師：沒錯。圓心，正是圓的中心。那同長——

　　生：應該是指半徑同樣長!

　　師：這樣看來，墨子得出的結論和我們剛才得出的——

　　生：完全一樣。

　　師：不過，也有人指出，這里的“同長”除了指半徑同樣長以  外，還可能指——

　　生：直徑同樣長。

　　師：沒錯。  (板書：直徑。)連接圓心和圓上某一點的線段叫半徑。那么，怎樣的線段叫直徑呢?(少數學生舉手。)我猜，多數同學不是不知道，而是不會用語言來描述，是這樣嗎?  (多數學生連連點頭。)那么，你們能用手比畫出一條直徑嗎?  (學生比畫。)

　　師：剛才的半徑是同學們畫的。這回，我自己來試試。  (教師故意將直尺擺放在偏離圓心的位置，提筆欲畫。)

　　生：老師，您的直尺放錯位置啦，應該放在圓心上。

　　師：哦，，原來是這樣。  (教師調整好直尺的位置，并從圓上某點開始畫，畫到圓心時停下。)

　　生：錯!

　　生：這是一條半徑呢，還得繼續往下畫。

　　教師繼續往下畫，眼看就要畫到圓上時，不露痕跡地停下了筆。

　　生：對!

　　生：不對!是錯的。我們上當了。

　　師：怎么又反悔了?

　　生：還沒到頭，還得再往前畫一點點。

　　教師繼續往下畫。就在學生喊“對”時，教師又悄悄地往前畫了一小段。

　　生：對!

　　生：不對!出頭啦。

　　師：一會兒對，一會兒錯，都給你們弄糊涂了。畫直徑到底得注意些什么呢?

　　生：得通過圓心。

　　生：兩頭都要在圓上。

　　生：還不能出頭。

　　師：這就對啦!數學上，我們把通過圓心、兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑通常用字母d表示(板書：d)。請在你的圓上畫出一條直徑，標上字母d。  (學生操作。)

　　師：半徑的特點已經研究過了，直徑又有哪些特點呢?大家可以和半徑比較著研究。半徑有無數條，那么——

　　生：直徑也有無數條。

　　師：半徑的長度都相等，那么——

　　生：直徑的長度也都相等。

　　師：直徑有無數條，我們就不必去探討了，原因和半徑差不多。直徑的長度都相等，為什么呢?

　　生：我們是量的，發現直徑的長度都是6厘米。

　　師：瞧，動手操作又一次幫助我們獲得了結論。

　　生：不用量也行。我們發現，每一條直徑里面都有兩條半徑，半徑的長度都相等，那么，直徑的長度當然也都相等。

　　師：在我們看來，這只是一條直徑，但在他的眼里，還看出了兩條半徑，多厲害!尤其是，他的發現還幫助我們獲得了一個新的結論，那就是，在同一個圓里，直徑和半徑是有關系的。誰能用最簡潔的語言描述出它們之間的關系?

　　生：直徑是半徑的兩倍。

　　師：挺好。還能更簡潔嗎?

　　生：半徑x2：直徑。

　　師：的確又簡潔了些。還能更簡潔嗎?  (無人舉手。)想想它們的字母——

　　生：我知道了，d=2r。

　　師：這就是數學語言的魅力!同學們可千萬別小看這個結論。(教師課件出示圖4)試想一下，如果在一個圓里，圓的半徑不是都相等的，而是有的長、有的短，最后連起來的還會是一個光滑、飽滿、勻稱的圓(指著圖4)嗎?