問題：小明所在的班級要選出4名中隊長，要求每位同學在選票上寫上名字，也可以寫自己的名字。 結果全班的每位同學都在自己的選票上寫了4個互不相同的名字。當小明把同學們的選票收集后發現一個有趣的現象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個人 的名字同時出現在2張選票上。 請問：小明所在的班級共有多少人？

　　總體邏輯思路：首先，假設題目所說的情況存在。然后，得出班級人數。最后，構造出一個例子，說明確實存在這種情況。

　　我們先來證明這個班每個人都恰好都被選了4次。

　　思路簡介：我們首先用反證法證明沒有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個人恰好被選了4次。

　　首先證明沒有人被選了4次以上，我們用反證法。

　　假設有一個人被選了4次以上（由于很容易證明這個班的人數肯定不少于7人，所以我們可以假設有一個人被選了4次以上），我們設這個人為A同學。接下來我們來證明這種情況不存在。

　　把所有選擇A同學的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見，我們把這些選票編號，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學的第1張選票，選擇A同學的第2張選票，…。

　　這些選票都選擇了A同學。由于任意2張選票有且只有1個人相同，所以這些選票上除了A同學外，其他都是不同的人。

　　我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。

　　既然這些（所有選A同學的選票）不是全部的選票，我們再拿一張沒有選擇A同學的選票。方便起見，稱之為B選票。

　　根據任意2張選票有且只有1個人相同，A1選票上必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。

　　同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。

　　由于B選票上只有4個不同的人，而A1、A2、…，的數量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學外還有一個共同的候選人。根據任意2張選票有且只有1個人相同，我們知道這是不可以的。

　　所以，沒有人被選了4次以上。

　　由于平均每人被選4次，既然沒有人被選4次以上，當然也就不可能有人被選4次以下。

　　所以，每個人恰好被選了4次！

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　　證明了每個人都恰好被選了4次后，下面我們用兩種方法來求出班級的人數。

　　方法一：解方程設這一班有n個人，從n張選票里面任選2張有C（n，2）=n（n-1）/2種情況。

　　由于任意2張選票都有且只有1個人相同，所以每一種情況都代表了一種2張選票重復選擇了同一個人的情況。（這句話不太好理解，暫時沒有想到好的表述）

　　每一個人都被選了4次，則2張選票重復選擇了同一個人的情況又等于nC（4，2）=6n

　　所以n（n-1）/2=6n解得n=13.

　　方法二：分析論證，計算我們從所有選票中拿出一張，這張選票上有四個人，方便起見記為甲、乙、丙、丁四個人。

　　除了我們拿出的這張選票外，所有選甲的選票組成集合[甲].所有選乙的選票組成集合[乙].所有選丙的選票組成集合[丙].所有選丁的選票組成集合[丁].

　　由于每個人都恰好被選了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四個集合中都有3個元素。而且這四個集合沒有交集。

　　每個集合有3張選票，再加上我們拿出的這張選票，一共有4×3+1=13張選票，即13個人。

　　下面我們證明選票數不能多于13張。還是用反證法。

　　假設選票數多于13張，我們從中取14張。從這14張選票中我們拿出一張稱為C選票。除了C選票外還有13張選票，C選票上有4個不同的人，這13張 選票中的每一張都有一個人和C選票上的一個人是相同的。這樣13張選票中至少有4張選擇了C選票上的同一個人，這樣再加上C選票，就有5個人選擇了同一個 人。

　　根據前面的結論，沒有人被選了4次以上，所以選票數不能多于13張。而且只能是13張。

　　所以只有13張選票，即只有13個人。

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　　下面說明這種情況確實存在。

　　給出一種投票結果即可。

　�。�1，2，3，4）

　�。�1，5，6，7）

　�。�1，8，9，10）

　�。�1，11，12，13）

　�。�2，5，8，11）

　　（2，6，9，12）

　�。�2，7，10，13）

　�。�3，5，9，13）

　�。�3，6，10，11）

　�。�3，7，8，12）

　�。�4，5，10，12）

　�。�4，6，8，13）

　　（4，7，9，11）

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　　方法三：網上搜到得一種方法，設班級有x個人，那么x張票中總共有4x（有重復）個名字，也就是說班級里每個人的名字平均出現4次，（1） 如果有一個人的名字在所有票中都出現，那么x張票應該有不重復的名字3x+1個，這與班級有x個人矛盾，（2）如果一個人的名字在5張票中都出現過，那么 假設為（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）（1，14，15，16）那么你無法構造一個不包含1，但與前 面5張票都有一個同名的票，所以一個人的名字在所有票中最多出現4次，并且每個人的名字在所有票中平均出現4次，那也就是說每個人的名字在所有票中出現4 次假設包含1的票為（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）其中2出現了1次，之后構造其他包含名字2的3張 票為（2，5，8，11）（2，6，9，12）（2，7，10，13）

　　之后構造分別包含名字3，4的各3張票。發現符合題意，所以這個班有13人。