例1 比較下面兩個積的大小：

　　A＝987654321×123456789，

　　B＝987654322×123456788.

　　分析 經審題可知A的第一個因數的個位數字比B的第一個因數的個位數字小1，但A的第二個因數的個位數字比B的第二個因數的個位數字大1.所以不經計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進行恒等變形，再作判斷.

　　解： A＝987654321×123456789

　　 ＝987654321×（123456788＋1）

　　 ＝987654321×123456788＋987654321.

　　B＝987654322×123456788

　　 ＝（987654321＋1）×123456788

　　 ＝987654321×123456788＋123456788.

　　因為 987654321＞123456788，所以 A＞B.

例2 不用筆算，請你指出下面哪道題得數最大，并說明理由.

　　241×249 242×248 243×247

　　244×246 245×245.

　　解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.

　　241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；

　　242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；

　　243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；

　　244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；

　　245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.

　　恒等變形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.

　　一般說來，將一個整數拆成兩部分（或兩個整數），兩部分的差值越小時，這兩部分的乘積越大.

　　如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5

　　則5×5＝25積最大.

例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個數的總和.

　　解：五個數中，后一個數都比前一個數大10，可看出1986是這五個數的平均值，故其總和為：

　　1986×5＝9930.

例4 2、4、6、8、10、12…是連續偶數，如果五個連續偶數的和是320，求它們中最小的一個.

　　解：五個連續偶數的中間一個數應為 320÷5＝64，因相鄰偶數相差2，故這五個偶數依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　總結以上兩題，可以概括為巧用中數的計算方法.三個連續自然數，中間一個數為首末兩數的平均值；五個連續自然數，中間的數也有類似的性質——它是五個自然數的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對于奇數個連續自然數，最中間的數是所有這些自然數的平均值.

　　如：對于2n＋1個連續自然數可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是這2n＋1個自然數的平均值.

　　巧用中數的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.

例5 將1～1001各數按下面格式排列：

　　一個正方形框出九個數，要使這九個數之和等于：

　�、�1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請說明理由.

　　解：仔細觀察，方框中的九個數里，最中間的一個是這九個數的平均值，即中數.又因橫行相鄰兩數相差1，是3個連續自然數，豎列3個數中，上下兩數相差7.框中的九個數之和應是9的倍數.

　�、�1986不是9的倍數，故不行；

　�、�2529÷9＝281，是9的倍數，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數表的最左一列，顯然它不能做中數，也不行；

　　③1989÷9＝221，是9的倍數，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數表中第四列，它可做中數.這樣可求出所框九數之和為1989是辦得到的，且最大的數是229，最小的數是213.

　　這個例題是所謂的“月歷卡”上的數字問題的推廣.同學們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經驗.