我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關系的一類問題，總稱為行程問題.

　　在對小學數(shù)學的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個量之間存在這樣的基本關系：路程＝速度×時間.因此，在這一講中，我們將在前面學習的基礎上，主要來研究行程問題中較為復雜的一類問題——反向運動問題，也即在同一道路上的兩個運動物體作方向相反的運動的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個物體以不同的點作為起點作相向運動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個運動物體以同一點作為起點作背向運動的問題，下面，我們來具體看幾個例子.

例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，問：二人幾小時后相遇？

　　分析 出發(fā)時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.

　　解：30÷（6＋4）

　　＝30÷10

　　＝3（小時）

　　答：3小時后兩人相遇.

　　例1是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個基本數(shù)量關系：

　　路程＝速度和×時間.

例2 一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時，中午12時兩車同時經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進，問：當客車到達甲地時，貨車離乙地還有多少千米？

　　分析 貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時（45＋15）千米；中午12點兩車相遇時，貨車已行了（12—6）小時，而客車已行（12—6－2）小時，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當客車行完全程到達甲地時，貨車離乙地的距離.

　　解：①甲、乙兩地之間的距離是：

　　 45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

　　＝45×6＋60×4

　　＝510（千米）.

　　②客車行完全程所需的時間是：

　　 510÷（45＋15）

　　＝510÷60

　　＝8.5（小時）.

　　③客車到甲地時，貨車離乙地的距離：

　　 510—45×（8.5＋2）

　　＝510－472.5

　　＝37.5（千米）.

　　答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.

例3 兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.

　　分析 首先應統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結束時，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內所走的路程之和應恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內所走的路程之和.

　　解：（10＋15）×14

　　 ＝350（米）

　　答：乙車的車長為350米.

　　我們也可以把例3稱為一個相背運動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的基本關系仍然成立.

例4 甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達對方出發(fā)點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點相距多少千米？

　　分析 甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一個48千米后，正好等于一個AB全程.

　　解：①AB間的距離是

　　 64×3－48

　　＝192－48

　　＝144（千米）.

　　②兩次相遇點的距離為

　　 144—48－64

　　＝32（千米）.

　　答：兩次相遇點的距離為32千米.

例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時.在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

　　分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間為（4—1＋4÷2）＝5小時.這樣就可求出甲的速度.

　　解：甲的速度為：

　　100÷（4－1＋4÷2）

　　＝10O÷5＝20（千米/小時）.

　　乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時）.

　　答：甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時.

例6 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

　　分析 解這類應用題，首先應明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和.

　　列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時，所用的時間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的車長為20×25—250＝250（米），從而可求出錯車時間.

　　解：根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：

　　72000÷3600＝20（米/秒），

　　某列車的速度為：

　　（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

　　某列車的車長為：

　　20×25-250＝500-250＝250（米），

　　兩列車的錯車時間為：

　　（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

　　答：錯車時間為10秒.

例7 甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時.6小時，8小時先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.

　　分析 甲車每小時比乙車快60-48＝12（千米）.則5小時后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車與甲相遇時，卡車與乙的距離為60千米，又因為卡車與乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12（千米/小時）

　　卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時）才能與丙相遇，而此時丙已走了8個小時，因此，卡車3小時所走的路程與丙8小時所走的路程之和就等于甲5小時所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應為：

　　（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時）.

　　解：卡車的速度：

　　（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時），

　　丙車的速度：

　　（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時），

　　答：丙車的速度為每小時33千米.

　　注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒”、“千米/小時”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.