觀察、搜集已知事實(shí)，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類(lèi)智力活動(dòng)的主要內(nèi)容.
數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來(lái)模擬這種活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.
例1 觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng)，找出規(guī)律，寫(xiě)出該數(shù)列的第100項(xiàng)來(lái)?
12345，23451，34512，45123，…
解：為了尋找規(guī)律，再多寫(xiě)出幾項(xiàng)出來(lái)，并給以編號(hào)：
仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項(xiàng)同第1項(xiàng)，第7項(xiàng)同第2項(xiàng)，第8項(xiàng)同第3項(xiàng)，…也就是說(shuō)該數(shù)列各項(xiàng)的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個(gè)循環(huán)節(jié)包含5項(xiàng).
100÷5=20.
可見(jiàn)第100項(xiàng)與第5項(xiàng)、第10項(xiàng)一樣(項(xiàng)數(shù)都能被5整除)，即第100項(xiàng)是51234.
例2 把寫(xiě)上1到100這100個(gè)號(hào)碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個(gè)人，你知道第73號(hào)牌子會(huì)落到誰(shuí)的手里?
解：仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：
分給小明的牌子號(hào)碼是1，5，9，13，…，號(hào)碼除以4余1;
分給小英的牌子號(hào)碼是2，6，10，14，…，號(hào)碼除以4余2;
分給小方的牌子號(hào)碼是3，7，11，…，號(hào)碼除以4余3;
分給小軍的牌子號(hào)碼是4，8，12，…，號(hào)碼除以4余0(整除).
因此，試用4除73看看余幾?
73÷4=18…余 1
可見(jiàn)73號(hào)牌會(huì)落到小明的手里.
這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律：
用這種規(guī)律預(yù)測(cè)第幾號(hào)牌子發(fā)給誰(shuí)，是很容易的，請(qǐng)同學(xué)們自己再試一試.
例3 四個(gè)小動(dòng)物換位，開(kāi)始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號(hào)位子上(如下圖所示).第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換.這樣一直交換下去，問(wèn)十次換位后，小兔坐在第幾號(hào)座位上?
解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫(xiě)出幾次換位情況，見(jiàn)下圖.
盯住小兔的位置進(jìn)行觀察：
第一次換位后，它到了第1號(hào)位;
第二次換位后，它到了第2號(hào)位;
第三次換位后，它到了第4號(hào)位;
第四次換位后，它到了第3號(hào)位;
第五次換位后，它又到了第1號(hào)位;
…
可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)四次換位后，小兔又回到了原來(lái)的位置，利用這個(gè)規(guī)律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號(hào)位.
如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來(lái)研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換，
小兔的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
小鼠的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
小猴的座位按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
小貓的座位按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
按這個(gè)規(guī)律也可以預(yù)測(cè)任何小動(dòng)物在交換幾次后的座位.
例4 從1開(kāi)始，每隔兩個(gè)數(shù)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是多少?
1，4，7，10，13，…
解：不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)列，它的后一項(xiàng)都比相鄰的前一項(xiàng)大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)：
第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加1個(gè)公差即
4=1+1×3.
第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加2個(gè)公差即
7=1+2×3.
第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加3個(gè)公差即
10=1+3×3.
第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加4個(gè)公差即
13=1+4×3.
…
可見(jiàn)第n項(xiàng)等于第1項(xiàng)加(n-1)個(gè)公差，即
按這個(gè)規(guī)律，可求出：
第100項(xiàng)=1+(100-1)×3=1+99×3=298.
例5 畫(huà)圖游戲先畫(huà)第一代，一個(gè)△，再畫(huà)第二代，在△下面畫(huà)出兩條線段，在一條線段的末端又畫(huà)一個(gè)△，在另一條的末端畫(huà)一個(gè)○;畫(huà)第三代，在第二代的△下面又畫(huà)出兩條線段，一條末端畫(huà)△，另一條末端畫(huà)○;而在第二代的○的下面畫(huà)一條線，線的末端再畫(huà)一個(gè)△;…一直照此畫(huà)下去(見(jiàn)下圖)，問(wèn)第十次的△和○共有多少個(gè)?
解：按著畫(huà)圖規(guī)則繼續(xù)畫(huà)出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見(jiàn)下圖.
數(shù)一數(shù)，各代的圖形(包括△和○)的個(gè)數(shù)列成下表：
可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和.按此規(guī)律接著把數(shù)列寫(xiě)下去，可得出第十代的△和○共有89個(gè)(見(jiàn)下表)：
這就是著名的裴波那契數(shù)列.裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時(shí)代.
例6 如下圖所示，5個(gè)大小不等的中心有孔的圓盤(pán)，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤(pán)塔.現(xiàn)在要把這座圓盤(pán)塔移到另一個(gè)木樁上.規(guī)定移動(dòng)時(shí)要遵守一個(gè)條件，每搬一次只許拿一個(gè)圓盤(pán)而且任何時(shí)候大圓盤(pán)都不能壓住小圓盤(pán).假如還有第三個(gè)木樁可作臨時(shí)存放圓盤(pán)之用.問(wèn)把這5個(gè)圓盤(pán)全部移到另一個(gè)木樁上至少需要搬動(dòng)多少次?(下圖所示)
解：先從最簡(jiǎn)單情形試起.
①當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí)，顯然只需搬動(dòng)一次(見(jiàn)下頁(yè)圖).
②當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán)時(shí)，只需搬動(dòng)3次(見(jiàn)下圖).
③當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí)，需要搬動(dòng)7次(見(jiàn)下頁(yè)圖).
總結(jié)，找規(guī)律：
①當(dāng)僅有一個(gè)圓盤(pán)時(shí)，只需搬1次.
②當(dāng)有兩個(gè)圓盤(pán)，上面的小圓盤(pán)先要搬到臨時(shí)樁上，等大圓盤(pán)搬到中間樁后，小圓盤(pán)還得再搬回來(lái)到大圓盤(pán)上.所以小的要搬兩次，下面的大盤(pán)要搬1次.這樣搬到兩個(gè)圓盤(pán)需3次.
③當(dāng)有三個(gè)圓盤(pán)時(shí)，必須先要把上面的兩個(gè)小的圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上，見(jiàn)上圖中的(1)～(3).由前面可知，這需要搬動(dòng)3次.然后把最下層的最大圓盤(pán)搬一次到中間樁上，見(jiàn)圖(4)，之后再把上面的兩個(gè)搬到中間樁上，這又需搬3次，見(jiàn)圖中(5)～(7).
所以共搬動(dòng)2×3+1=7次.
④推論，當(dāng)有4個(gè)圓盤(pán)時(shí)，就需要先把上面的3個(gè)圓盤(pán)搬到臨時(shí)樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤(pán)搬到中間樁上(1次)，之后再把臨時(shí)樁上的3個(gè)圓盤(pán)搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動(dòng)2×7+1=15次.
⑤可見(jiàn)當(dāng)有5個(gè)圓盤(pán)時(shí)，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要：
2×15+1=31次.
這樣也可以寫(xiě)出一個(gè)一般的公式(叫遞推公式)
對(duì)于有更多圓盤(pán)的情況可由這個(gè)公式算出來(lái).
進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個(gè)數(shù)列：
若把n個(gè)圓盤(pán)搬動(dòng)的次數(shù)寫(xiě)成an，把兩個(gè)表對(duì)照后，
可得出
有了這個(gè)公式后直接把圓盤(pán)數(shù)代入計(jì)算就行了，不必再像前一個(gè)公式那樣進(jìn)行遞推了.
