五、構(gòu)造法

　　構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。

　　例5 99⁹⁹和99！能否表示成為99個連續(xù)的奇自然數(shù)之和？

　　解：99⁹⁹能。因為99⁹⁹等于99個99⁹⁸之和，所以可以直接構(gòu)造如下：

　　9999=（99⁹⁸-98）+（99⁹⁸-96）+…+

　　=（99⁹⁸-2）+99⁹⁸+（99⁹⁸+2）+…+

　　=（99⁹⁸+96）+（99⁹⁸+98）。

　　99！不能。因為99！為偶數(shù)，而99個奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99！不能表示為99個連續(xù)奇數(shù)之和。

　　說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設要求的數(shù)學對象構(gòu)造出來就行。

　　例6 從1，2，3，…，999這999個數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個數(shù)都不等于另外兩個數(shù)的乘積。應劃去哪些數(shù)？

　　解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數(shù)，因為劃去了上述這30個數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個數(shù)之積將大于32²=1024＞999。

　　另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個數(shù)。

　　（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

　　（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

　　上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為 31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個，這樣就不滿足題設條件。所以，30是最少的個數(shù)。

六、配對法

　　配對的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對（可用于計數(shù)）。傳說高斯8歲時求和（1+2+…+100）首創(chuàng)了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。

　　例7 求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個數(shù)中所有數(shù)碼的和。

　　解：在這些數(shù)前面添一個數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個數(shù)兩兩配對，因為0與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。

　　例8 某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數(shù)的號碼，從0001到9999號。若號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運券”。例如號碼 0734，因 0+7=3+4，所以這個號碼的購物券是幸運券。試說明，這個商場所發(fā)的購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除。

　　解：顯然，號碼為9999的是幸運券，除這張幸運券外，如果某個號碼n是幸運券，那么號碼為m=9999-n的購物券也是幸運券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。

　　由于m+n=9999，相加時不出現(xiàn)進位，所以除去號碼是9999這張幸運券之外，其余所有幸運券可全部兩兩配對，而每一對兩個號碼之和均為9999，即所有幸運券號碼之和是9999的倍數(shù)。

　　因為9999=99×101，所以所有幸運券號碼之和能被101整除。

　　試說明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。

　　解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的辦法，將和

　　①②兩式相加，得

　　從而

　　2m×88！=89×k（k是正整數(shù)）。

　　因為89為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除 88！，從而89|m。

　　解法二：作配對處理

　　將括號內(nèi)的分數(shù)進行通分，其公分母為

　　1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，

　　從而

　　m×88！=89×k（k=n×q）。

　　因為89為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。