例 21 19¹⁹⁹⁷被7除余幾？

　　解：從上面的結(jié)論知道，19¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)與2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).

　　先寫出一列數(shù)

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐個(gè)用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：

　　事實(shí)上，只要用前一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請(qǐng)想一想.）

　　從表中可以看出，第四個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對(duì)余數(shù)的計(jì)算，就知道，第五個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個(gè)數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)，與2¹⁹⁹⁷ 被 7除的余數(shù)相同，這個(gè)余數(shù)是4.

　　再看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.

　　例22 70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和.這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　問：最右邊一個(gè)數(shù)（第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？

　　解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)數(shù)：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

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　　不過，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下：

　　將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.

　　用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下：

　　注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)0×3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來(lái)減 1.

　　從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：

　　“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來(lái)說(shuō)：

　　一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù).

　　這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國(guó)剩余定理”，這是由中國(guó)人首先提出的.目前許多小學(xué)數(shù)學(xué)的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學(xué)生能弄明白的.這里，我們通過兩個(gè)例題，對(duì)較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.

　　例23 有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？

　　解：除以3余2的數(shù)有：

　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

　　它們除以12的余數(shù)是：

　　2，5，8，11，2，5，8，11，….

　　除以4余1的數(shù)有：

　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

　　它們除以12的余數(shù)是：

　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是唯一的.上面兩行余數(shù)中，只有5是共同的，因此這個(gè)數(shù)除以12的余數(shù)是5.

　　上面解法中，我們逐個(gè)列出被3除余2的整數(shù)，又逐個(gè)列出被4除余1的整數(shù)，然后逐個(gè)考慮被12除的余數(shù)，找出兩者共同的余數(shù)，就是被12除的余數(shù).這樣的列舉的辦法，在考慮的數(shù)不大時(shí)，是很有用的，也是同學(xué)們最容易接受的.

　　如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數(shù)，而是求這個(gè)數(shù).很明顯，滿足條件的數(shù)是很多的，它是

　　5＋ 12×整數(shù)，

　　整數(shù)可以取0，1，2，…，無(wú)窮無(wú)盡.事實(shí)上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數(shù)，再加上12的整數(shù)倍，就都是滿足條件的數(shù).這樣就是把“除以3余2，除以4余1”兩個(gè)條件合并成“除以12余5”一個(gè)條件.《孫子算經(jīng)》提出的問題有三個(gè)條件，我們可以先把兩個(gè)條件合并成一個(gè).然后再與第三個(gè)條件合并，就可找到答案.