例3 數一數，下圖中有多少個點?

　　解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖.

　　總點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

　　方法2：補上一個同樣的三角形點群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立(見下圖)：

　　三角形點數=長方形點數÷2

　　因三角形點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　而長方形點數=10×9=(1+9)×9

　　代入上面的文字公式可得：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=(1+9)×9÷2=45.

　　進一步把兩種方法聯系起來看：

　　方法1是老老實實地直接數數.

　　方法2可以叫做“拼補法”.經拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數就可以用乘法算式計算出來了.

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=(1+9)×9÷2.

　　這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現了.

　　再進一步，若脫離開圖形(點群)的背景，純粹從數的方面找規律，不難發現下述事實：

　　這個等式的左邊就是從1開始的連續自然數相加之和，第一個數1又叫首項，最后一個數9叫末項，共有9個數又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：

　　從1開始的連續自然數前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數的積的一半.或是寫成下面的文字式：

　　和=(首項+末項)×項數÷2

　　這個文字式通常又叫做等差數列求和公式.