小學數學故事：歐幾里得的故事

　　言傳身教

　　歐幾里得大約生于公元前325年，他是古希臘數學家，他的名字與幾何學結下了不解之緣，他因為編著《幾何原本》而聞名于世，但關于他的生平事跡知道的卻很少，他是亞歷山大學派的奠基人。早年可能受教于柏拉圖，應托勒密王的邀請在亞歷山大授徒，托勒密曾請教歐幾里得，問他是否能把證明搞得稍微簡單易懂一些，歐幾里得頂撞國王說：“在幾何學中是沒有皇上走的平坦之道的。”他是一位溫良敦厚的教育家。

　　另外有一次，一個學生剛剛學完了第一個命題，就問：“學了幾何學之后將能得到些什么？”歐幾里得隨即叫人給他三個錢幣，說：“他想在學習中獲取實利。”足見，歐幾里得治學嚴謹，反對不肯刻苦鉆研投機取巧的思想作風。

　　在公元前6世紀，古埃及、巴比倫的幾何知識傳入希臘，和希臘發(fā)達的哲學思想，特別是形式邏輯相結合，大大推進了幾何學的發(fā)展。在公元前6世紀到公元前3世紀期間，希臘人非常想利用邏輯法則把大量的、經驗性的、零散的幾何知識整理成一個嚴密完整的系統(tǒng)，到了公元前3世紀，已經基本形成了“古典幾何”，從而使數學進入了“黃金時代”。柏拉圖就曾在其學派的大門上書寫大型條幅“不懂幾何學的人莫入”。歐幾里得的《幾何原本》正是在這樣一個時期，繼承和發(fā)揚了前人的研究成果，取之精華匯集而成的。

　　《幾何原本》

　　歐氏《幾何原本》推論了一系列公理、公設，并以此作為全書的起點。共13卷，目前中學幾何教材的絕大部分都是歐氏《幾何原本》的內容。

　　勾股定理在歐氏《幾何原本》中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被稱作畢達哥拉斯定理，但是追究其發(fā)現的時間，在我國和古代的巴比倫、印度都比畢達哥拉斯早幾百年，所以我們稱它勾股定理或商高定理。在歐氏《幾何原本》中，勾股定理的證明方法是：以直角三角形的三條邊為邊，分別向外作正方形，然后利用面積方法加以證明，人們非常贊同這種巧妙的構思，因此目前中學課本中還普遍保留這種方法。

　　據說，英國的哲學家霍布斯一次偶然翻閱歐氏的《幾何原本》，看到勾股定理的證明，根本不相信這樣的推論，看過后十分驚訝，情不自禁地喊道：

　　“上帝啊，這不可能”，于是他就從后往前仔細地閱讀了每個命題的證明，直到公理和公設，最終還是被其證明過程的嚴謹、清晰所折服。

　　歐氏《幾何原本》的部分內容與早期智人學派研究三個著名幾何作圖問題有關，特別是圓內接正多邊形的作圖方法。歐氏的《幾何原本》只把用沒有刻度的直尺畫直線，用圓規(guī)畫圓列為公理，限定了“尺規(guī)”作圖。于是幾何作圖就出現了“可能”與“不可能”的情況。在這里歐幾里得只給出了正三、四、五、六、十五邊形的作法，加上連續(xù)地二等分弧，可以擴展到正2n、3（2n）、5（2n）、15（2n）邊形。因此，我們可以想象歐幾里得一定還嘗試過別的正多邊形的作圖方法，只是沒有作出來而已。所以歐氏《幾何原本》問世后，正多邊形作圖引起了人們的極大興趣。

　　歐氏《幾何原本》中的比例論，是全書的最高成就。在這之前，畢達哥拉斯派也有比例論，但并不適用于不可公度的量的比，歐幾里得為了擺脫這一困境，在這里敘述了歐道克索斯的比例論。定義了兩個比相等即定義了比例，適用于一切可公度與不可公度的量，它挽救了畢氏學派的相似形等理論，是非常重要的成就。

　　據說有一位捷克斯洛伐克的牧師布爾查諾，在布拉格度假時，突然間生了病，渾身發(fā)冷，疼痛難耐。為了分散注意力便拿起了歐氏的《幾何原本》，當他閱讀到比例論時，即被這種高明的處理所震撼，無比興奮以致完全忘記了自己的疼痛。事后，每當他的朋友生病時，他就推薦其閱讀歐氏《幾何原本》的比例論。

　　歐氏《幾何原本》吸取了泰勒斯和柏拉圖的演繹證明和演繹推理，完整的體現了亞里士多得的數學邏輯思想，成為公理化方法建立演繹體系的最早典范，更是數學邏輯思維訓練的最好教材。但是，它在某些方面還存在著邏輯上的缺陷，并曾經引發(fā)了數學史上著名的“第五公設試證”活動，19世紀初因此而誕生了羅巴切夫斯基幾何。羅氏幾何的誕生，打破了歐氏幾何一統(tǒng)空間的觀念，促進了人類對幾何學廣闊的領域作進一步的探討。隨后，展開了大規(guī)模的歐氏《幾何原本》公理系統(tǒng)的邏輯修補工作。德國數學家希爾伯特，用近代的觀點集修補之精華，在1879年發(fā)表了《幾何基礎》，提出了歐氏幾何一個完整的簡潔的公理系統(tǒng)，使歐氏幾何達到了高度的抽象化、邏輯化、數學化，把公理化方法推向了現代化，建立起了一種統(tǒng)一的公理體系。這也是歐氏《幾何原本》對幾何學發(fā)展作出的重大貢獻。

　　歐氏《幾何原本》一出世就迅速而且徹底地取代了在它之前的一切同類型著作，甚至使它們就此消聲匿跡。

　　最早的中譯本是1607年（明代萬歷35年）由意大利傳教士利瑪竇和徐光啟合譯出版的，只譯了15卷本的前6卷，它是我國第一部數學翻譯著作。取名為《幾何原本》，中文“幾何”的名稱就是從這里開始的。而后9卷的引入是在兩個半世紀后的1857年由清朝的學者李善蘭和英國人韋列亞力翻譯補充的。