數(shù)學(xué)史海覽勝：第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來看，它的發(fā)生也帶有必然性。

　　這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無限的四個悖論：

　　“兩分法”：向著一個目的地運(yùn)動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的1/4點(diǎn)……，如此類推以至無窮。——結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動是不可能的。

　　“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

　　“飛矢不動”：意思是箭在運(yùn)動過程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動狀態(tài)。

　　“操場或游行隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動了4公里。運(yùn)動是矛盾的，所以運(yùn)動是不可能的。

　　芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無限可分，因而運(yùn)動是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個悖論詰難了時(shí)間和空間不能無限可分，因而運(yùn)動是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數(shù)學(xué)的，但是它們在數(shù)學(xué)王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。

　　經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

　　無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導(dǎo)致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。

　　英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的。”他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。貝克萊雖然也抓住了當(dāng)時(shí)微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學(xué)的厭惡和對宗教的維護(hù)，而不是出自對科學(xué)的追求和探索。

　　當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集。”在那個勇于創(chuàng)造時(shí)代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。

　　18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。

　　直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

　　波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。

　　19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。