名人故事:歐幾里得的成就有哪些?
來源:網絡資源 文章作者:奧數網整理 2019-11-15 20:02:15

名人故事:歐幾里得的成就有哪些?
完全數
此外,歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數做了探究,他通過2^(n-1)·(2^n-1)的表達式發現頭四個完全數的。
當n=2:2^1(2^2-1)=6當n=3:2^2(2^3-1)=28當n=5:2^4(2^5-1)=496當n=7:2^6(2^7-1)=8128一個偶數是完全數,當且僅當它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1),此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。
其中2^(n)-1是素數,上面的6和28對應著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^(n)-1的素數(即梅森素數),也就知道了一個偶完全數。在手算時代梅森素數可使人們更方便的計算完全數,在計算機時代更是得到了廣泛深入的應用,計算機的CPU可以更方便的計算各種數。
盡管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是12p+1或36p+9的形式,其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。
首五個完全數是:
6
28
496
8128
33550336(8位)
歐幾里得算法
歐幾里德算法又稱輾轉相除法,用于計算兩個整數a,b的最大公約數。[1]
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