第五回  群賢畢至  托勒密王再續前緣

　　        兼容并蓄  阿拉伯人又搭金橋

　　阿波羅尼斯的《圓錐曲線》如此完美，現在的大學課本都未能超過。羅馬統帥說，自己是在和數學打仗。兩千多年前測出的地球半徑，和現在的相差不到1％！《天方夜譚》里的哈里發，贊助了一下數學。

　　且說那阿波羅尼斯，也是古希臘亞歷山大時期人。

　　這一時期的古希臘真可謂人才薈萃，眾星捧月，把個古希臘數學描繪得花團錦簇，色彩班斕。

　　那古希臘的數學在亞歷山大時代，也算是得過明主了，故而才有所發展，有所燦爛。上回書中說過，一代雄主亞歷山大大帝東征西討，足跡所至，遍筑新城。這些城市中好多都叫亞歷山大城，當然最大最有名的還是埃及的那座。

　　亞歷山大很想讓他的大帝國中的各種成份融成一爐，他特意讓希臘文明和波斯文明能融合起來。一會兒他自己以身作則，娶波斯公主為妻；一會兒又下詔讓歐、亞兩大洲的人互相換個地方住住。還強迫他的幾百名部將、幾萬名小卒與波斯女子通婚。看來，這位大帝挺喜歡搞世界一片紅的。

　　不過愿望歸愿望，待到他一駕崩，那個大帝國也就分裂成了三大塊。歐洲部分變成安提哥那帝國，安提哥那原本為希臘將領；亞洲部分變成塞流卡斯帝國；埃及歸希臘的托勒密統治。那塞流卡斯和托勒密自然也是亞歷山大手下的部將了。

　　安提哥那統治下的希臘和馬其頓漸漸為羅馬兼并，在數學發展上變得無足輕重；塞流卡斯帝國的數學似乎也沒什么特色。

　　但是在埃及的托勒密王朝，幾代君主倒是挺把文化當回事，這些當權的希臘人繼續亞歷山大大學的建筑，還把許多知名學者都請來，由國家供養著，端著鐵飯碗研究學問。

　　再說，幾代托勒密王都還比較對外開放，各種民族都可以到亞歷山大城居住，貴族、平民和奴隸摩肩接踵。對外貿易、遠征考察，使得文化的發展處于活潑的氣氛中。

　　學者們分成四大部分工作：文學、數學、天文、醫學。除了文學和數學挨不上以外，醫學當然要用到數學。天文學就更不用說了。由此可見數學在當時的學術界是獨占魁首。

　　亞歷山大時期的希臘數學和古典時期的不同，雖然仍有抽象思維的光榮傳統，不過更注重實際運用。數學家們積極參與力學方面的工作，計算重心，研究各種機械，有時簡直就是發明家。

　　歐幾里德和阿波羅尼斯雖然都是亞歷山大時代人，不過他們是古典希臘數學的集大成者，和亞歷山大城的其他幾位大數學家如阿基米德、埃拉拒色尾、希帕克、梅內勞斯、托勒密以及海倫、丟蕃都等等不一樣。后面這幾位是新時代，也就是亞歷山大時代數學的開創者。

　　阿波羅尼斯既然能和偉大的歐幾里德相提并論，當然是身手不凡。雖然他是一位很有名望的天文學家，但是更加非凡的是他的數學成就。《圓錐曲線》——β使他贏得了“大幾何學家”的聲名。

　　圓錐曲線，以前的幾位包括歐幾里德都有過研究，也都著β立說一番。但阿波羅尼斯的書一問世，立刻光芒四射，成為這方面空前絕后（起碼絕一千多年）的經典名著，這位阿波羅先生發了言，其他人也就只有閉嘴的份。按成就來說，這本書確實是古希臘幾何的登峰造極之作。

　　阿波羅尼斯比阿基米德小25歲，大約公元前262年出生，曾在亞歷山大學跟著歐幾里德的門徒學習過，算起來是歐幾里德的再傳弟子了。

　　阿波羅尼斯先生研究的學問挺夠檔次。說起來圓錐曲線也就是橢圓、雙曲線、拋物線、其實這些曲線的性質要比圓和直線來得復雜，沒有一定的“透視”能力是得不出什么結果的。

　　其實圓錐曲線與人的實際聯系很緊密，不研究透了那可就是要受制于它了。比如炮彈飛行的彈道自然是拋物線；汽車前燈照在地面上的影子，臺燈照在墻壁上的影子，那就是雙曲線子。以后大天文學開普勒（1571—163O）更發現，地球的運行軌道，其他行星的運行軌道，都是橢圓。就是1994年那慧木相撞的大新聞中，自然也有橢圓。

　　人造衛星宇宙飛船，那也離不開這三種同曲線，速度一變，運行的軌跡也會變成三種中的某一種。

　　不過這三種曲線為什么叫“圓錐曲線”呢？原來阿波羅尼斯發現，用一個平面去截兩個頂對頂的圓錐面，截的位置不同，就會得到不同的曲線。

　　如果截面平行于圓錐的底面，截得的是圓；如果截面平行于軸，截出的曲線就是雙曲線；要是平行于母線去截，那么結果就是拋物線。除了上面幾種情況，用其他方式來截的話，那就是橢圓了。我們這里講的是直圓性，其實斜圓錐也能截出圓錐曲線，這也是阿波羅老先生的發現。

　　整個《圓錐曲線》共分八篇，487 個命題。和《原本》類似，這篇鴻篇巨制也有著嚴格的邏輯體系。但由于內容廣泛，解釋詳盡，以及對許多復雜命題敘述奇特，讀起來相當吃力。甚至可以說，這部光輝巨著比目前有關圓錐曲線的大學教科書還要完善得多。

　　比起歐幾里德和阿波羅尼斯，阿基米德在希臘的亞歷山大時代更富傳奇色彩，流傳著他的種種趣談。

　　要是認真說起來，阿基米德可真算得上是歷史上最偉大的教學家之一。他是亞歷山大時期數學的典型代表，成就最多，特點最鮮明。

　　大家會說了，前面那兩位不也是亞歷山大時期的數學家嗎？不錯，是這么回事，但是他們所做的事具有的是希臘古典時期的特點，是集古典時期之大成。

　　阿基米德大約在公元前287年出生于西西里島上的敘拉古，當時希臘的一個殖民城市。也就是說，那座城市都是希臘的移民。公元前212年，羅馬入侵敘拉古時被害。

　　據他自己說，他老子是位天文學家。也算是書香門第，子承父業吧，他也搞起了數學這一行，而且還青出于藍。阿基米德當然去過埃及留過學，因為那是當時的文化中心。在亞歷山大城，他結交了不少朋友，有些是歐幾里德的門人，還有一位叫埃拉托色尼，是咱們馬上就要見到面的另一位偉大的希臘數學家。

　　那阿基米德學成歸國，就一直在敘拉古生活、研究。不過一有新發現，就立刻與亞歷山大城的學者們交流，征求意見。他的那些發現和創造也著實使他們同行們欽佩得了不得。如果當時有諾貝爾獎的話，一定是一致公認的首位獲獎者，保不準還要鬧個幾連冠。

　　有些同學會說了，就是評諾貝爾獎，阿先生也不會有份，誰不知道諾貝爾獎里沒有數學獎啊！

　　即使這么看，咱們上面的玩笑也還是錯不了。要知道，阿基米德可是位大才子，全才，諸子百家無一不曉，十八般武藝件件精通。文可安邦，武能定國，的確十分厲害。

　　別的咱們不說，單道那人人知曉的浮力定律，不正是他老人家發現的嗎？要不怎么叫阿基米德定律呢？這可是咱們上初中就首先佩服了一下的物理定律，能不能得諾貝爾物理獎？

　　要說這條浮力定律的發現，還有一個人人知曉的故事。

　　阿基米德本是敘拉古國王希羅的親戚，再加上那么大的才氣，自然是很得寵信。有一天國王覺得剛做好的金王冠不對勁，懷疑工匠摻雜兌假，是個偽劣產品，就叫阿基米德搞一下質量檢驗。要求也挺摩登，不能弄壞王冠，是無損害檢驗，要求很高。

　　那時也沒什么射線去照，也沒有質譜議，就靠阿老先生的聰明腦袋了。老先生冥思苦想，菜飯不思也沒弄個所以然。

　　這一天到浴室洗澡輕松一下。當他浸入浴缸看到他的部分身體被水浮起來，就突然領悟到解決問題的竅門。他興奮得忘乎所以了，竟然光著身子跑到街上大喊：“我成功了！成功了！（eureka！eureka！）”

　　他發現浸在水里的物體，所受的浮力等于其所排出的那部分水的重量。利用這浮力定律就能測定金冠的真偽成份了。

　　阿基米德甚至還做了一個令人吃驚的天體運行儀，日、月和五個行星繞著地球運動，不僅可以觀察天體運動，而且還能預報日食、月食！這是他在《論制作球》這本書里講到的。他還發明了一種從河里提水的螺旋提水器。杠桿，這種最簡單然而也是重要的機械（我們的手指、手臂彎曲運動，無一不是杠桿），最早作系統研究的，還是阿基米德。他的一本專著就叫做《論杠桿》，不但“論”，還有“做”。

　　阿基米德給他的國王親戚希羅殿下寫了一封信，告訴他，一個人的力量也可以移動很重的重物。說到最后夸起了海口：給我一個支點，我可以舉起地球。

　　希羅王不由得大為震驚，心想咱這親戚本是謙謙一君子，恐怕不是熱昏了頭，就趕緊請阿老先生做個表演示范。

　　阿基米德就決定來手絕活，把國王的一艘重型軍艦裝滿了人和物，靠在船塢里。然后用一套復雜的滑輪組把船連接起來。

　　只見這邊阿“工程師”在岸上輕舒猿臂，那一邊整個大船已緩緩起動，慢慢拖上岸來。把一船軍民、兩岸觀眾驚得目瞪加口呆。

　　所以當羅馬大將馬塞路斯率軍來攻敘拉古時，國王自然立即請阿老先生出山，匡扶漢室。阿基米德設計許多武器。有可調整射程并且活動射桿的弩炮，能把重物射到靠近城墻的敵艦。有把敵艦從水中吊起來的大型起重機。還有一些大反射鏡，把太陽光一聚焦，就使敵艦著火。

　　羅馬人變得膽戰心驚，一看見一條小繩索、小木塊從城墻上拋出，就立刻大喊大叫：又來啦！阿基米德又要飛出一種新式武器啦。于是馬上四散逃命。

　　馬塞路斯久攻敘拉克不下，也就只好自我解嘲，幽自己一默，他對周圍的人說：咱這是和數學打仗，他阿老先生在城里面拍拍腦袋，咱這軍艦可就給拍完了。

　　不過，敘拉古城最后還是被羅馬大軍攻破了。破城的那會，馬塞路斯下令保證阿基米德安全，大將軍對阿先生還是挺佩服的。

　　大將軍雖有嚴令，無奈阿基米德一介書生，怎敵得羅馬士兵赳赳武夫，“秀才遇到兵，有理說不清”，最后還是死在羅馬士兵的屠刀之下。關于這位老先生的遇難，說法不一，有好幾個版本。

　　版本之一是說城破之日，阿基米德仍在聚精會神研究問題，手上畫著圖，腦里想著事。沒想到一個羅馬大兵突然闖進書房，命令他到馬塞路斯那兒去。阿基米德說，容我把問題想個結果出來再去。那羅馬大兵勃然大怒，立刻是刀劍相加叫他永遠閉了嘴。

　　版本之二是說，正當阿基米德把用來測量太陽大小的儀器一日晷、球體等等準備帶去給羅馬大將軍去的時候，幾位羅馬兵卒看見了他，以為那儀器里面裝有金銀珠寶，自然是亂劍齊下，掠金搶銀，呼嘯而去。

　　還有這么種說法，阿基米德在沙地上畫圖，對走得太近的羅馬大兵說：“伙計，離遠點，別靠近我的圖形！”那位橫沖直撞的大兵哪吃這一套，立刻請他一命歸西。

　　這種高度戲劇化的插曲，咱們也是姑且聽之。這說明阿基米德頗有眾望，人們喜歡給心目中的偶像涂上或是神秘或是傳奇的色彩。

　　就像他光了身子從浴室跑上大街的那種忘我的狀態差不多，阿基米德還有許多心不在焉的故事。有時他被強迫去洗澡，然后在身上涂油（這是一種宗教儀式），他就在爐灰上描畫幾何圖形，用油在身上畫圖。如癡如醉，可稱上超級“迷者”，那勁頭恐怕大大超過現在的追星族。

　　這樣一些心不在焉的故事往往使常人發笑，不過，阿基米德們之所以成為天才，那必不可少的才智就是能完全貫注于自己的問題，樂在其中而忘身外之憂。所謂“熱愛是最好的老師”。

　　阿基米德還有個習慣，他把自己的定理送給亞歷山大城的朋友們的時候，不寫證明，希望這些朋友們能享受一番作出證明的樂趣。但這些朋友們不領這份情，直截了當引用這些定理，不耐煩去做什么證明。于是阿先生后來就想了個主意，在最后一組定理中放進兩個錯誤，開開那些朋友們的玩笑。

　　看來，類似計算機病毒的發明權應當歸于阿基米德了。

　　阿基米德遇難后，那位羅馬將軍塞路斯十分傷心。下令好好安葬，優撫遺屬。不過也許是做給活人看的，好像三國里的曹孟德。

　　但是那阿基米德的墓修得很別致，墓碑是一個內切于一個柱體的球體。

　　這與他的一篇論文大有關系：《論球和圓柱》。

　　1965年，在敘拉古建旅館打地基時，挖出了阿基米德的墓，轟動一時。

　　在《論球和圓柱》一書中，先進述定義和假定。第一個假定，或者說公理吧，就是連接兩點的線中以線段為最短。

　　在論及球的表面積、球的體積時，他得到了完全正確的結論：

　　球面積等于其大圓面積的4倍。球的體積與其外切圓柱的體積之比是2∶3。

　　事實上他是把上面那么個圖形繞虛線旋轉，生成了一接于半球的圓錐，面半球又內切于一圓柱。這三個圓形體（旋轉體）的體積之比為 l∶2∶3。這一精彩的定理是阿基米德特別喜愛的一個結果。所以早就立下遺囑，要把一個帶有外切圓柱的球以及它們的比例（2∶3）雕在墓碑上。

　　使咱們更驚奇的是推出這一結果的方法。如果說結果精彩，那么方法更是精彩得無與倫比。

　　阿基米德竟然用了杠桿原理把上面所說的比例給推導出來。然后，又因為圓柱、圓錐的體積都是已知的，自然就能得到很難求的球的體積。恐怕連現在的學者都很難想起這么個絕招。而且在推導球的體積時，運用了現代微分、積分的思想。

　　不過阿基米德自己認為，這種方法只是用來發現定理，而不能算作嚴格的幾何證明。

　　在《方法論》這篇論文里，阿基米德表達了他上面的這么個觀點。

　　說起來這本書的發現，本身就有傳奇色彩。這作品一直到1906年才在一家圖書館里偶然發現的。手稿是10世紀抄寫的羊皮紙本。確實是紙張緊張，羊皮紙太貴，這羊皮手稿居然是擦過了后又重新利用的。所可慶幸的是，阿基米德的重要思想居然還能辨別出來。

　　為了說用杠桿原理，物體的重心等等力學方法可以發現許多定理，阿基米德又舉了一個拋物線弓形的例子。不過他認為還必須用嚴格的數學方法去證明自己的發現。他用的數學方法就是所謂“窮竭法”，說起來是一種極限的思想。

　　這樣一種嚴格性要超過牛頓和萊布尼茨了。而這兩位是公認的現代微積分的創始人。

　　同學們不知還記不記得任意角三等分問題，咱們在前面給大家說過一個利用有刻度的直尺三等分角的作圖法，那可就是阿基米德給出的方法。

　　下面咱們給大家談另一顆亞歷山大時代的數學巨星——埃拉托色尼。說那位埃拉托色尼是公元前284年出生于地中海南岸的昔蘭尼，只比阿基米德小幾歲，而且是好朋友。大約40歲時，它受埃及的托勒密三世的邀請，來到亞歷山大城給他兒子家庭老師（要在中國，恐怕要封為太子太傅了），同時兼任亞歷山大大學的圖書館館長。大約在公元前192年，他由于失明故意餓死。

　　埃拉托色尼是位全才加奇才，以古代最有學問的人聞名后世。頭銜挺多，數學家、天文學家、地理學家、詩人、哲學家等等。據說還是運動員，學生們常稱他為五頂全能。

　　他還有個綽號叫β（beità）。這 ?是希臘文里的第二個字母，所以那綽號的意思是“二號。”這“二號”到底是什么意思，一直是人們關心的熱點新聞。有人認為，那是因為他的博學和才華，被看作是第二個柏拉圖，柏拉圖第二。

　　還有一種說法，說他雖然在各個領域里都很杰出，但都不能拔頭份，只能屈居“二號”。還有人主張，那“二號”不過是他辦公室的號碼。反正咱們在這錄以備考，留待同學們以后能探明真相，揭示謎底。

　　埃館長留考百世的偉業共有兩大項，不可不提：

　　一是所謂“埃拉托色尼篩”。

　　這么個篩子主要是用來篩出素數（也就是質數）的。平時咱們有體會，要從小到大列出個素數表，如果用笨辦法，把自然數挨著個一個一個判斷是否素數，挺費事。數字小一點還好辦，大一些就難了。

　　下面將兩千多年前埃先生發明的絕招教給你，如果要篩出從2到n中所有的素數的話，那么：

　　先從小到大寫出從2 到 n 的全部自然數。接著標出第一個素數 2，劃去后面數中2所有的倍數；再看，2后面的第一個沒劃去的數是3，它是第二個素數，標出它，再劃去后面3的倍數。

　　如此這般，如果P是一個素數，標出它，并劃去后面所有P的倍數，排在P后面第一個未被劃去的，就是下一個素數。重復這個過程，有限次就能得到n以內的所有素數。比如：

　　這是一張30以內的素數表。有些劃兩道杠的，就是被消滅兩次了。這么一個程式化的劃去和尋找的過程，很適合編好程序用計算機自動篩出素數。一般，這種尋找方法就叫篩法。

　　素數在整個自然數中的分布是很稀的，似乎是越來越稀。有人計算過，在前10 億個自然數中，只有 50847534 個素數，約占 5％。素數的故事太多了，難題趣題也不少，容我以后再慢慢說起。

　　再說那埃館長的另一項偉大功績就是丈量地球了。雖說古希臘人早就知道地球是個球形的（他們甚至最早提出了“日心說”），不過丈量這么大的球，別說想了，聽聽也叫人害怕，叫人咋舌。

　　這丈量倒不真是弄根繩子一段一段去量地球的“腰身”，而是想了個極妙的方法，得出了地球的半徑。

　　他在賽尼城，也就是現在埃及的阿斯旺觀察到每年夏至那天的中午 12點，太陽光幾乎正在天頂，。因為當時的太陽光能直射入當地的一口深井，井底能看到太陽。

　　一點也不偏斜同日同時在亞歷山大城太陽就斜射。用一個日晷那樣的簡單儀器（或者就是中國人用的“表”），就能量出太陽在亞歷山大城的投射角α是360°的1/50即：

　　地球的半經隨之得出為6330．64公里，這與現在算出的數據6371公里簡直就可以說沒有誤差！不到1％！這種方法確實是蓋了帽了，而且是2000多年前的古人想出的，絕對蓋帽！

　　埃拉托色尼還提出了經度純度的概念，用經緯網繪制世界地圖。對倍立方問題，他設計了一種作圖儀器，也很方便。

　　希臘的亞歷山大時代，三角學的研究也十分發達。這也反應了與古典時期不同的風格，更注重實際的應用。那三角學的發展，絕對就是天文學的需要。

　　因此，當時的三角首先是球面三角學，您想想，整個天球給人的感覺不就是個球嘛。

　　三角學的奠基者也許是大天文學家希帕克（公元前140年左右人），他所確定的平均太陽月（月球繞一周的時間），與現在測得的數值相比，誤差不超過1＂（1秒）。

　　希帕克最大的成就就是給出了角的正弦函數表。當然，當時給出的是一種“弦表”，也就是一個圓，從0·5°到180°，每隔半度的所有圓心角所對弦的長度。如果諸位有興趣，可以動手畫一個圓，那么已知弦長是很快能得出圓心角的正弦的。

　　后來亞歷山大城的托勒密（各王族沒什么關系）寫了一本被稱為《大匯編》的書，系統總結和充實了三角和天文方面的成果。這部書一共13卷，包括了上面講的弦表。

　　最重要的是他講解了構造弦表，推導弦表的方法，主要的根據咱們在幾何中也學過：圓內接四邊形中，兩對角線之積等于兩對邊之積的和。現在這就叫做托勒密定理。

　　《大匯編》一書，在哥西尼和開普勒之前，一直是標準的天文學大全。不過因為他是個“地心說”者。所以后來哥白尼的“日心說”被視為正宗的以后，就有些全盤否定墻倒眾人推的意思了，不把他的成就當回事。

　　且說自從畢氏學派發現了這樣的新數，一時間好像天塌地陷，日月無光。許多學者一看被畢老先生奉為神明數的嚴謹體系出了這么大漏洞，都覺得那算術代數沒什么搞頭，不是真正的數學。

　　于是紛紛把研究方向對準幾何，認為那才是沒得說的純數學，絕對的“陽春白雪”。至于算術問題代數問題當然是進不了神圣殿堂，被看作販夫走卒者所為。碰到實際的算術代數沒法不去解決了，也都把它變成幾何問題用幾何方法去解決。那時候不是有“幾何代表”一說嘛！

　　到了亞歷山大時代，情況大不一樣了。算術和代數都有了獨立的發展，被大家當會事了，有了獨立的地位。

　　比方說那位咱們大家都知道的海倫（約公元1世紀左右人），也就是提出海倫公式的那一位，就是用文字敘述來解決代數問題，而不是用幾何的方法。他解決過這樣一個問題：給定一個正方形，其面積和周長的和是 896，求其一邊。

　　用現在的記法，這個問題就是求方程

　　海倫在方程兩邊加上 4，配成完全平方，然后再開方，就得出了結果。

　　他并不進行證明，而是說一步一步如何做，做哪些運算。這種風格就是一種古埃及和古巴比倫人解決問題的風格。有人說他是阿拉伯人。

　　順便也給同學們聊聊海倫公式。大家都知道，海倫公式是這樣計算三角形面積的：

　　這里a、b、c是三邊，S是周長之半。

　　海倫說用這個公式測量計算三角形土地的面積，就不要跑到地中間去取高了。

　　不過這個公式實際上是阿基米德的。但海倫在幾本著作里都引用了它，還進行了證明。歷史就是這要樣，錯了就錯了，張冠李戴的事多了。不過現在是阿老先生的帽子被海倫工程師戴去了。這點發明權小糾葛咱們就說到這里。

　　還有一本書叫《希臘選集》，也是一本習題集一樣的書。其中大多是一元線性方程，還有一些二元的和三元三次方程。

　　這本習題里的一些問題倒是挺有趣，就是給現在學生做，也還有意義。比如說有這么一題：六個人分一堆蘋果，其中四個人分別分得1/3、1/8、1/4和1/5，第五個人得十個，只剩下一個給第六人，請問蘋果總數有多少？另一個問題是今天小學中典型的工程問題：

　　我要建房子，需要300塊磚。你單獨一天就能完成，但是你兒子一天只能做200塊，你女婿一天能做250塊。你們一齊工作，多少天可以完成？這兩個問題叫現如今的中學生做，肯定是用方程了；小學生們也能做出來，是分數應用題。

　　不過當時是用文字敘述的方式去解決，比較靈活，不太有規律。正如有一位先生所說過的，代數方法解決問題，好像是機械化生產，不但生產的批量大，而且把思維過程也機械化了。

　　那么這代數學符號，從歷史上來說，可以分為三個階段。第一階段，是文字敘述代數，也就是對問題的解，不用縮寫和符號，而是寫成一篇論說文。第二階段就有些進步了，稱為簡化代數，即對某些常出現的量和運算采用了縮寫的方法。

　　最后一個階段叫做符號代數，解決問題，多表現為各種數學符號（包括未知量的符號，運算的符號等等），這些符號有更高的抽象性，好像與要解決的問題所說的內容關系不大似的。

　　咱們可以看到，剛剛說過的兩個問題，它們的解法就屬于第一階段的。實際上全球各種文明，都有這么一個階段，咱們中國也不例外。

　　文字敘述代數，在世界許多地方，存在了好幾百年。尤其是在西歐。一直到 15 世紀還是文字敘述式的代數。符號代數在西歐的第一次出現是在 16世紀。然而直到17世紀中期，還沒有普及。

　　咱們初等代數課本中的大部分符號化的內容，看樣子還沒有四百年。話說到這，咱們一定要提到丟蕃都了。他是公元三世紀人，曾活躍于亞歷山大城。丟蕃都在數學上的杰出貢獻，就是把代數的符號化過程推到了第二個階段。

　　提起丟蕃都，當然要說一下他那著名的墓志銘，這篇墓志銘概括了他的一生：

　　“過路人，這里埋著丟蕃都的骨灰，下面數目可以告訴你他活了多少歲。

　　“他生命的六分之一是幸福的童年。

　　“再活十二分之一，頰上長出了細細的胡須。

　　“再過了五年，他感到很幸福，有了一個兒子。

　　“可是這兒子光輝燦爛的生命只有他父親的一半。

　　“兒子死后，老人在悲痛中活了四年，結束了塵世生涯。

　　“請問：‘丟蕃都活了多久？幾歲結婚？幾歲生孩子？’”

　　這段墓志銘奇特，新鮮，挺有職業習慣，臨死了也沒忘出個題目給大家吊吊胃口。

　　要解出這么一題，不費舉手之勞，有初一的水平就可以列出一個一元一次方程來。就是小學生，也很容易地使用分數知識來解答。

　　答案是，丟蕃都老先生84歲高壽，33歲結婚，38歲得子，晚婚晚育，算得上標兵。

　　丟蕃都老先生寫過三部書。最重要的一部就叫《算術》，共 13卷，現在看到的只有6卷了。

　　這本書大約有130多個一次、二次方程的問題，其中有些還是三次方程，有些是不定方程。

　　什么是不定方程呢，就是方程的解有許多，一般是無數多個。一般都取整數解。丟蕃都求解時規定為有理解。西方把不定方程稱為丟蕃都問題。

　　為什么這么命名呢？這丟老先生既不是解不定方程，提出不定方程的第一人，也不是用非幾何的方法解二次方程的第一人，如何有此光榮呢？原因就在他是采用代數符號的第一人。

　　丟蕃都給出了未知數、未知數的冪（一直到六次）、減、相等和倒數的縮寫符號。

　　據說他用來表示未知量的記號是S，就像我們用 X 一樣。這 S 是個希臘字母。丟蕃都把未知量稱做“題中的數”。他說的也是大實話，當然是題目中的數，意味著還不知道。

　　這些符號雖然沒有清楚地寫出來未知量 S，但丟先生的意思隱含地含有那未知量了。

　　出現這一套符號當然了不起，但更了不起的是他使用三次以上的高次乘冪！古希臘的數學家從不考慮三個乘數以上的乘法，因為這種乘積沒有幾何意義。

　　但是在算術中，在代數中，這種乘積當然有意義。丟番都是采取這種觀點的。這說明他老先生把算術、代數當個“人”看了，有獨立的“人格”了，不再是幾何的附庸品。

　　這在希臘數學中可以說是一個大進步。不過在咱們中國就沒有這個問題了。中國算術幾何一直是平行發展的，而且中國古算一直強調“算”，更實用。中國的幾何也一直和應用關系密切，不像古希臘那樣，形成一個嚴密的邏輯體系。

　　同學們眼下當然能看清，古希臘的幾何雖然嚴密有序，統一完整，但它狹隘了人們的視野，使他們的頭腦接受不到新思想新方法。它的內部就埋伏下使自己死亡的種子。

　　如果沒有亞歷山大文化開闊了希臘數學家的眼界，那么它那狹隘的活動領域，局促的觀念，美學上那至美至善的要求，就會窒息了活潑的創造，還談什么發展。

　　回頭咱們再看一看丟蕃都老先生是怎么表示一個代數式的。

　　要看懂他的代數式，還要能看懂希臘人表示的數。希臘人表示數，就用希臘字母，比如說1、2、3、4 就用α、β、γ、δ表示。10 是用 L 表示。所以13就表成Lγ表示。

　　這樣表示有很大的缺點。看樣子，聰明的希臘人也不是事事都聰明。

　　看慣了就一樣，和現在的代數式差別不大。只是數也用字母表示，容易弄混。

　　丟先生另一項值得一提的成果是關于畢氏三數的。

　　畢氏三數的式子，畢氏門人早已所記載：

　　咱們在第三回就已經見過面。但這組式子不能表達出全部畢氏代數組來。比如8，15，17就不在上面的式子中。

　　于是丟蕃都致力于尋找構造畢氏三數的一般法則。他找到了這種法則：

　　如果m、n是兩個正整數，并且2mn是完全平方，那么：

　　就是一組畢氏三數。他究竟是用何法寶得到了這些式子，現在也只能是歷史之謎了。

　　這位老先生雖然是個解題能手，使人看了目不暇接，但沒有什么一般的方法。他的大作看起來有點像藥方單子，只告訴你怎么做。歐幾里德、阿基米德、阿波羅民斯著作中的那種嚴密有序的證明是一點也看不見了。

　　希臘的數學就這樣分成了不同的兩塊，很使后人迷惑一陣，不安一陣的。不過，更不幸的是隨著希臘文明的衰落，希臘數學也漸漸落下了它的大幕。

　　首先是羅馬人的鐵蹄，阿基米德被一個羅馬大兵殺害就標志著那希臘數學的下坡。羅馬人所向披靡，一直殺到亞歷山大，把那號稱世界第一的圖書館付之一炬，五十萬份手稿一掃而光。看來凱撒大帝很有點秦始皇的威風。這一東一西兩地火可就把兩個文明都害苦了。

　　所幸的是還有不少書，圖書館收藏不下了，存放在神廟里，這些書就逃過了一關。

　　不過好景不長，過了400年，隨著基督教得勢，其成為羅馬帝國的國教，那座神廟也被來上一把火，三十萬種手稿再遭劫難。

　　不但焚書，而且坑儒。狂熱的基督教徒襲擊屠殺異教徒，有點像當年的黨衛軍。

　　不知大家是不是還記得給歐幾里德的《原本》作注釋的泰奧思。他一直為希臘的數學經典，比如《原本》、《大匯編》作注解。

　　他的女兒希帕提婭，數學、醫學、哲學都很了得，也為丟蕃都的《算術》和阿波羅尼斯的《圓錐曲線》作過注釋。她可是世界上第一位女數學家。公元415年3月，她被狂暴的基督徒在亞歷山大城的街道上抓到，撕成碎片，因為她不肯放棄她的信仰。

　　新崛起的回教徒也不示弱，好像要與羅馬人展開一場焚書比賽。公元640年，他們征服埃及后，給亞歷山大城的文明以最后一擊，殘留的書籍立刻無保留地燒掉。理由很充分：如果這些知識在可蘭經里已經有了，那就沒什么保存的必要；如果可蘭經里沒有，那就是違反可蘭經的，也要燒掉。

　　總之一句話，是要燒。就這樣，亞歷山大城的浴室整整用這些羊皮紙書燒了六個月的水。

　　經過這三次“文化大革命”，希臘的文化就革得一命嗚呼了。希臘的數學家被消滅了，但他們的工作成果終于傳到了歐洲。

　　說起來叫人哭笑不得，把希臘成就傳到歐洲，從而逐步發展成現代數字的，也還是阿拉伯人。

　　且說公元640前亞歷山大城的一把火，自然是有些頭腦發昏。不過那是統治者所為，當然要和人民區別開來。

　　在一百多年里，阿拉伯人從一個游牧民族通過不斷征戰，建立起一個從印度經過波斯、美索不達米亞和北非直至西班牙的大帝國，開始定居，創造自己的文明。

　　到了公元755年，這個大帝國又分裂成兩個國家。東部王國以巴格達為首都；西部王國以西班牙的哥爾多華為首都。經過充滿宗教狂熱的征服之后，他們對種族和教派是寬大的，兼容并蓄，吸引了希臘人、波斯人、印度科學家以及猶太人和基督徒，共聚一堂，文化的來源十分豐富。巴格達那里也設立了學院、圖書館、天文觀察臺。

　　這其中有一位哈里發（國王），叫哈龍·蘭希的，也算得上開明君主。在他的贊助下，許多希臘經典被譯成阿拉伯文。而印度的文化和數學著作也不斷傳入巴格達，印度數字就是這么著引入了阿拉伯數學，變成了我們現在所說的阿拉伯數學。這位君王還因為《天方夜譚》而為大家所熟知。咱們以后看《天方夜譚》時，可以留心一下他的大名。

　　他的兒子馬姆也是個愛學問的人，并且馬姆本人就是一位天文學家。那座天文臺就是他建立的，并且還測量了地球子午線。

　　這位哈里發在位20多年（809——833年），把《原本》和托勒密的《大匯編》都翻成了阿拉伯文。這些希臘手稿，就是作為和平條約的一個條件，從拜占庭帝國的皇帝那得到的。當然，隨后其他一些希臘學者和印度學者的著作都有了阿拉伯譯本。

　　后來傳入歐洲的就是這些譯本，而希臘的原著早已失傳。沒有阿拉伯學者的工作，大量希臘和印度的科學就會在漫長黑暗的中世紀無可挽回地消失掉。

　　在馬姆當哈里發時期，許多學者寫了數學、天文學方面的著作，其中最著名的是花拉子密寫的關于代數學的論著和關于印度數學的書，這些書于12世紀被譯成拉丁文，在歐洲產生了巨大影響。

　　這位花拉子密（名字挺怪的）生于花拉子模，也就是現在的寫烏茲別克（以前蘇聯學者把他說成是蘇聯的光榮，現在是沒這份榮耀了），后定居巴格達。他那名字的意思是“花拉子模人摩西之子穆罕默德”。

　　咱們現在學的代數這門課，英文叫 algebra。這英文名稱就是起源花拉子密。

　　花拉子密關于這門學科的論著，其標題是“AI—iabrw’almuqabala”。

　　這個標題要直接翻譯的話，就是“重新結合和對立的科學”。

　　“al—jabr”，原意是復原，根據花先生的上下文，那就是移項，即從方程一邊去掉一項，要使方程的平衡“復原”，必須在另一邊加上這一項。而“Al’muqabala”，意思是“化簡”，對消，比如把3X與4X并成7X，或從方程兩邊消去相同的項。

　　“al—jabr”又有“接骨者”的意思，后來通過西班牙傳入歐洲，就變成了 algebrista，意思還是接骨郎中。那時的理發師們也常常自稱為“algebrista”，因為接骨和放血是中世紀理發匠們的副業，倒和中國某些地方的理發匠相似，剃頭再加個第二職業：按摩、正骨、治脫臼。

　　不過以后遇到這“algebra”，可別再當成理發匠，現在這已經是正兒八經的“代數學”了。

　　花拉子密先生把未知量叫作植物的“根”，解未知量就叫“求根”。比如他說過這么一題：“根的平方和十個根等于三十九”，也就是X2＋10X＝39 這個方程。他給的解法是：“取根數目（10）的一半，也就是五；然后讓它自乘得二十五，把這與三十九相加得六十四；開平方得八，再減掉五，余三，這就是根。”這實際上就用配方解一元二次方程。

　　這種解法與丟蕃都的解法差不多。這也是當時數學的特點：沒什么獨創性，可能是希臘典籍太多，翻譯都夠翻一陣的。

　　穆斯林的數學家們，在幾何法代數中倒也繼承了希臘的傳統。有位叫海牙姆的（1042—1124），是位伊朗人，他就指出過，三次方程一般不能化成二次方程來解，但可以用圓錐曲線來解。海牙姆算是花先生的后生了，花先生約為780—850年間人。阿拉伯學者一般把他們自己看作是天文學家，這也是當時的世界潮流，古中國就把數學家們稱為“疇人”，疇人者，觀天之人也。

　　所以伊斯蘭教學家們對三角學表現了濃厚興趣。現在使用的六種三負角函數就歸功于他們。還有一位15世紀的波斯皇族天文學家，他甚至編制了一個間隔為1＇的正弦表和正切表，精確到8位小數！這也許是世界上最早的8位小數數學用表。

　　總的來說，他們工作偏重實際，缺乏證明創造性的東西不多。但最值得一提的是，阿拉伯文化保存了那多文明的精華，當這些寶藏有朝一日被發現、被發展時，立刻掀起了現代文明的大潮。這也許是阿拉伯人的“金橋工程”吧。

　　那阿拉伯世界匯集的的諸多文明之中，自然也有古恒河一脈。且說那古印度，也是四大文明古國之一，5000年文明史亦當之無愧。在印度的莫恒卓達羅有一座5000年前的城市廢墟。這座城市有著寬廣的街道、布滿全城的排水系統、公共游泳池，帶洗澡間的公寓等等。建造這么一座宏偉的城市當然要用基本的數學知識。

　　不過后來這塊土地變化就比較大，先是波斯大軍在公元前六世紀入侵；不久又是亞歷山大大帝到此一游（他征服印度時間不長，敗退）；以后有印度本國皇帝的統治了，但公元450年，匈奴人先來，然后是阿拉伯人、波斯人。

　　所以這么一來希臘、巴比倫、中國的數學對印度的數學，就相互影響相互作用你中有我我中有你，有很多也輸到阿拉伯去。這地方好像是一個東西方文明東西方學術的集貿大市場了，或者換個時髦說法，是技術市場，信息交流中心。

　　要談到印度的數學，當然要說一說現在所用的“阿拉伯數字”和“位值記數法”。

　　那“位值記數原則”自然是咱們中國首屈一指，享有世界第一的美譽。不過佛國天堂的印度也是這么種記數原則。

　　這也許與他們的書寫材料有關。據一位德國史學家的意見，古印度是一塊小黑板上用筆蘸一點白顏料寫字，或者是用小棍在一塊撒有紅粉的白板上寫字。在這兩種條件下寫數字，寫的地方很小，而字要寫得比較大，不然看不清。寫完之后擦去再重寫。

　　這么一來，寫字的空間太小，用位值原則記數好像是節省了地方。印度的記數法也是10個符號，十進位。這種記數法的優點當然不言而喻，易讀易寫，不占地方。

　　印度的10個數字最初用梵文的字頭表示，后來逐漸演變，到公元8世紀，印度數學中的1、2、3就同現在通用的差不多了；而“七”這個數字，那時寫作6，這時，印度數學中有了零這個符號。

　　8世紀印度數學傳入中亞，經阿拉伯人的改造，到 12世紀傳入歐洲。歐洲人只知道這種數學是從阿拉伯國家傳來的，所以就稱為阿拉伯數字。其實，同學們都已明察其中來龍去脈。所以，當今記數的數學符號，公平正確地說，應當叫印度—阿拉伯數字。

　　14 世紀，我國印刷術傳入歐洲，英國在 1447 年出版了歐洲第一批印刷書籍，其中的數字符號已和現在差不多了。到了1522年出版的一批書中，數字已完全和當今一樣。從此數字的寫法漸漸固定下來，苦難的歐洲終于擺脫了其他進位制、其他記數法的折磨，開始享受這種簡便有效的“十進制位值記數法”。

　　19世紀的法國數學大家拉普拉斯曾如此感慨：“用九個符號表示一切的數，使符號除了具有形式的意義外，還有數位的意義，這一思想是如此簡單，以致無法理解它的奇妙程度。就拿希臘學術界中最偉大而又最有天才的阿基米德和阿波羅尼斯兩人來說，他們也沒有想出這種記數法，可見這一成就是多么不容易呀。”

　　中國在這方面雖然世界第一，不過好像并沒有傳播到世界各地，要不然，現在的記數符號也保不準是用中國的那一套。

　　不過印度數碼倒是傳入過中國。在唐代開元六年（718 年），有位在司天監任職的天文學家奉命把印度的《九執歷》譯為漢文。其中就有“天竺算字”。“天竺”，是古中國對印度之稱謂。當時的零，是用點表示的。可惜當時沒有把印度數碼的寫法傳刻出來，以致印度數碼沒有在中國流傳下來。

　　印度人計算加法是從高位加起。因為他們在可以擦了再寫的黑板上演算，要進位，很容易擦掉高位上原來的數字，再重寫，就跟打算盤一樣。做乘法，尤其是多位數乘法，已經和現在的計算程序差不多了，后經阿拉伯人傳入歐洲，在那里被改造成現在的筆算形式。

　　古印度的算術問題多用“試位法”解的。其中有一種美妙的方法叫反演法，就是倒過來推，像現在的逆推法。

　　在公元六世紀，有一個用詩表現的題目，用的是反演法：

　　“帶著微笑眼睛的美麗少女，請你告訴我，按照你正確理解的反演法，什么數乘以3，加上這個乘積的3/4，然后除以7，減去商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？”

　　這是婆什迦羅（約 1114—1185）在他的著作中所給的無理數之和的定義。

　　光有定義還不行，還要有“算”的法則。究竟怎么辦呢？婆什迦羅繼續教導大家：

　　“較大的無理數除以較小的，所得之商開方，再加 1，和數取平方，然后乘以較小的無理數，其根即為所求。”

　　這些知識多半來自婆什迦羅的《麗羅娃提》。據說這部著作是以他女兒的名字命名的，讓他女兒高興高興。

　　婆什迦羅還用分割、剖分證明了畢氏定理（勾股定理），這就是右邊這個正方形。婆什迦羅畫了這張圖，只寫了一個字：“瞧！”正所謂僅著一字，已得風流。這個證明中國很早就有了。我們在這里還是簡單地寫個式子，幫助大家進一步明確一下（這里a、b是直角邊）；

　　說起來古印度雖然對幾何不太系統研究，不過了解得挺早，那是為了造祭壇。有一類經書叫《繩法經》，講的就是應用幾何知識造祭壇，也有圓方問題的解。幾何成了宗教的侍女，無可奈何。

　　印度數學在婆什迦羅以后完全倒退了，一直到現代，才又放出光輝，出現了一位奇才怪才、難以理解之才。此是后話。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。