第八回  伽利略說  自然中處處有公式

　　    笛卡爾稱  空間里點點入坐標

　　剛剛被計算機淘汰出局的對數(shù)計算尺，竟是耐普爾400年前的大發(fā)明，震驚歐洲。給近代科學造型的人，首先都是數(shù)學家。“科學產(chǎn)生于用數(shù)學解釋自然這一信念。”懸賞十萬馬克的問題終于有了“說法”……

　　上回說到，隨著文藝復興，思想解放，樊籠打破，現(xiàn)代數(shù)學的帷幕已徐徐拉開。自此以后400年，即從1600年17世紀到現(xiàn)如今20世紀之末，人類在數(shù)學上的創(chuàng)造和收獲，不知要超過以往幾千年的多少倍。

　　其實，就是到19世紀為止，300年間的收獲頗為可觀，使得今日之數(shù)學，分支林立。不用說圈外人對數(shù)學方方面面知之不多；就是各個分支的數(shù)學家，也是隔行如隔山。

　　但千里之行總由足下起始，讓咱們就從這現(xiàn)代數(shù)學的起步開始，看看這以前竟被有些皇上們視為占星之術的數(shù)學，是如何成為參天而立枝葉繁茂的大樹的。

　　要說這現(xiàn)代數(shù)學，一方面是創(chuàng)建了許多新學科，使用了新的思想新的方法，諸如微積分、解析幾何之類，是為高等數(shù)學的范疇。

　　而另一方面，則是初等數(shù)學的完善和嚴格。那幾何自有古希臘的歐幾里德作得錦繡一般文章，邏輯嚴密。而代數(shù)一門，卻正是整理整頓的重點，自然，咱們這里說的是初等代數(shù)。

　　前面已說到，代數(shù)要成為獨立的學科，符號化是關鍵的一著。韋達在這關鍵的一著中，也起了一個關鍵的作用：方程中的系數(shù)也用字母表示，這樣就能討論一類方程，而不是單個的方程。

　　所以韋達定理的得出就不是偶然的了。當然，咱們中學生現(xiàn)在知道的，是一元二次方程中根與系數(shù)的關系，而韋達對三次方程中根與系數(shù)的關系也已經(jīng)有了發(fā)現(xiàn)。后人又把這種關系推廣到了一元幾次方程中去，有了更一般的結論。

　　在符號這方面的進步一直在進行。

　　有兩位英國數(shù)學家也有一定的貢獻。一位叫哈里奧特（1560—1621），他曾幾乎與伽利略同時，發(fā)現(xiàn)太陽的黑點，觀察到木星的衛(wèi)星。他按照韋達的辦法，用元音代表未九，用輔音字母代表常數(shù)；但他改進了韋達的乘冪的記號。

　　不過笛卡爾給出的都是正整數(shù)冪的表示�，F(xiàn)在咱們使用的分數(shù)指數(shù)和負數(shù)指數(shù)的記法，就要歸功于牛頓他老人家啦。

　　用現(xiàn)在這種記法表示乘冪，表示未知數(shù)和系數(shù)，你瞧瞧，多簡單，多明了！實用的價值太大了，對數(shù)學發(fā)展的影響也太大了，不知為什么一直到17世紀才有個明白的“說法”，發(fā)展得也太慢了點。

　　不過，現(xiàn)代數(shù)學可就變成了符號的科學。有些人“玩的就是心跳”，咱這數(shù)學玩的就是符號�，F(xiàn)在是后浪超前浪，常用符號已經(jīng)有二百好幾十種了，對行人看了就好像進了“八卦陣”。

　　用了字母和符號以后，一些數(shù)學關系就能用符號、式子表示出來，既清楚明白，又深刻簡單，重要的是把關系的本質(zhì)表達出來了。

　　y=kX，這個式子咱們都見過，雖然它很簡單，卻反映了許多不同事物的共同本質(zhì)。在計算路程時咱們用過它，在那時，K是速度，X是時間，Y算出來就是路程了；上商場買東西，K 又變成單價，X 是數(shù)量，Y 就是總價錢了。

　　還能有不少的用途，不少的解釋。

　　不同的東西有了統(tǒng)一的反映，多偉大。

　　有了字母和符號，還能提高運算和推理的效率。為什么呢？因為用式子這么一表達，關系和量的表示簡單而又突出，只要遵循一定的規(guī)則對這些式子進行變形，就很快能機械地算，還能代替想。

　　咱們在小學思考應用題，多難！在中學，同樣的問題用立方程解決，真輕松！這不都是用式子的運算表代替想了嘛！思維機械化！

　　代數(shù)依賴于幾何，這種從古希臘開始的認識開始逆轉了，這就是韋達和笛卡爾開始的進步。笛卡爾看到了代數(shù)的巨大潛力，他說他是繼韋達未竟之業(yè)的。

　　笛卡爾甚至認為，邏輯上的原理和方法也能用符號表示，而一切過程就能徹底機械化了，他把這一想法稱作“通用數(shù)學”。

　　不過他對自己的這一想法還比較模糊，沒深入討論。對此有充分討論的第一個人是萊布尼茨，咱們不久就要和他見面，暫且不表。

　　萊布尼茨的邏輯推理機械化思想后來竟成為上世紀一項大發(fā)明的基礎。

　　但在當時誰又能識見到其中的了不得，這也是形勢造成的必然結果。而當時的一些人走的是另一條路，使得計算大大簡單，成為轟動一時，影響幾個世紀的大發(fā)明，這就是對數(shù)。

　　咱們現(xiàn)在好像是看不出那對數(shù)的重要了，要做繁雜的四則運算，函數(shù)運算，只要把口袋里的電子計算器掏出來，鼓搗一番，立馬得結果。這要在400年前，別說四百年前，就是四十年前，人們都得把你當神仙、天外來客來看。

　　三四十年前，搞工程技術、工程設計的人，最好的計算工具就是一把計算尺。所以那時的工程師，人們送給他一個雅號：拉計算尺的人。那時的計算尺也分檔次，一把好的計算尺也要值一二百元，不比現(xiàn)在的一臺電腦便宜多少（那時的一百恐怕要值現(xiàn)在的一千吧）。

　　這計算尺就是根據(jù)對數(shù)的原理制作出來的。所以正確地說，叫“對數(shù)計算尺”。

　　計算尺雖然趕不上電子計算器，可在幾百年前，卻也是最快的機械化運算工具。如何算得快，在古代還不十分迫切。到了16、17世紀的歐洲，工商業(yè)迅速發(fā)展，科學技術也蓬蓬勃勃。天文、航海、測繪、造船集中暴露出一個頭痛的大問題：計算越來越繁雜，數(shù)據(jù)越來越多。無數(shù)的乘除、乘方、開方、耗費了人們大量的極為寶貴的時間。再說，有些事也等不得你慢慢地用老辦法算啊，比如在大洋中航行的船只，總不能停下來算好經(jīng)緯度后再開航吧！

　　一開始想的辦法跟巴比倫古時候的辦法一樣，就是造出、編出各種各樣的表格；平方表、立方表、方根表圓面積表三角函數(shù)表等等。但這只不過解決了一點點燃眉之急。

　　在這表格的海洋中，人們就這暈頭暈腦過了許多年，直到1544年，有一位德國哥尼斯堡（前蘇聯(lián)把它叫做加里寧格勒）大學的數(shù)學教授斯蒂費爾（1487—1567），在簡化計算方面走出了重要的一步。

　　斯先生宣布自己發(fā)現(xiàn)了有關整數(shù)的一種奇妙性質(zhì)，他認為：“為此，人們甚至可以寫出整本整本的書……”

　　那么，斯蒂費爾發(fā)現(xiàn)了什么呢？原來他把兩個數(shù)列對照了一番，對比了一下：

　　1，2，3，4，5，6，7，9，10．11．……

　　1，2，4，8，16，32，64，128，512，1024，2048……

　　第一個數(shù)列在下不再多說了，第二個數(shù)列諸位也能看個大概，就是2的各次乘冪。

　　斯先生驚奇地發(fā)現(xiàn)，如果要計算第二行中兩個數(shù)的積，只要在第一行中找到對應的兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和所對應的第二行中的數(shù)，就是所求之積。

　　比如要求16×128，可找出，16對應4，128對應7，4＋7=11，11對應的是2048，這就是16×128的積。

　　斯蒂費爾得到一個重要結論：通過這樣的表，可以把乘除運算化為加減運算！用現(xiàn)在的話來說，就是用了這么條對數(shù)的性質(zhì)：

　　斯蒂費爾離偉大的發(fā)現(xiàn)只有一層窗戶紙了，只要輕輕一捅，那么他的聲名可就要遠遠超過現(xiàn)在。

　　斯先生究竟是什么問題，使得自己沒有摘取發(fā)現(xiàn)的桂冠呢？原來他對自己的表格老有一個想不開的問題：16×128是可以輕易得手了，但像16×102卻找不到位置，無法用他的表進行運算。

　　正當斯蒂費爾感到智窮力竭之時，蘇格蘭的愛丁堡誕生了一位杰出人物，耐普爾（1550—1617），對數(shù)發(fā)明的金牌得主。

　　耐普爾出生在名門貴族，天資聰穎，才思敏捷，10歲入圣安德魯斯大學學習，算是少年大學生了，16歲出國留學。公元1571年，耐先生學成歸國，深為研究天文、數(shù)學、機械時的復雜計算而苦惱。冥思苦索，終于在對數(shù)的發(fā)明上捅破了最后一層窗戶紙，跨出了有歷史意義的一步。

　　說起也很簡單，耐普爾只不過是讓任何數(shù)都找到了它的對應者。也就是相當于在上面的表中，密密麻麻地插進許多中間值，這么一來，大事成矣。

　　1594 年，耐普爾開始精心編制可供實用的對數(shù)表。經(jīng)過 20 年的苦戰(zhàn)，一本厚厚的200多頁的八位對數(shù)表終于誕生了！耐普爾在1614年發(fā)表了《奇妙的對數(shù)法則的說明》這本書，論述了對數(shù)的性質(zhì)，給出了對數(shù)表的使用規(guī)則和實例。

　　耐普爾用20年的光陰，換來了人世間無數(shù)生命的延續(xù)。耐普爾的驚人發(fā)明被整個歐洲熱心地采用。被繁雜計算弄得頭昏腦脹的天文學界，簡直要為這個發(fā)現(xiàn)沸騰起來了，那激動，那贊嘆，那驚喜，不亞于20世紀的計算機發(fā)明。

　　大數(shù)學家拉普拉斯就認為，對數(shù)的發(fā)現(xiàn)“以其節(jié)省勞力而延長了天文學者的壽命”。伽里略老先生更是眉飛色舞：“給我空間，時間及對數(shù)，我可以創(chuàng)造一個宇宙。”要是伽先生知道20世紀還有計算機這一說，那他肯定要創(chuàng)造十個宇宙了。

　　不過耐普爾的對數(shù)概念與現(xiàn)在從指數(shù)式引入是不相同的。先有對數(shù)，后才有指數(shù)概念的清晰表達，把過程反過來了，倒真是一個奇跡。

　　耐普爾的對數(shù)表還不太方便。后來倫敦的一位數(shù)學教授布里格斯（1561—1631），專程到愛丁堡向這位偉大的對數(shù)發(fā)現(xiàn)者表示敬意。兩人商定，就以10為底，規(guī)定對數(shù)，這就是今天所說的常用對數(shù)。

　　由于咱們的記數(shù)是以十為基數(shù)的，這種對數(shù)在計算上就有了優(yōu)越性。又花了八年時間，布里格斯以其全部精力造常用對數(shù)表，在 1624年終于大功告成，從1至20000和90000到100000的14位常用對數(shù)表發(fā)表了。現(xiàn)在的諸位是不大看到對數(shù)表了�？蓛H僅在十幾年前，書店里還經(jīng)常出售一二十位的對數(shù)表，厚厚幾百頁。

　　今天，這幾乎已成了歷史的陳跡，“老古董”了，不能不使人發(fā)出滄海桑田之慨！

　　耐普爾的天才和想象力簡直使一些人認為他精神不正常。他預言過將來會有許多種窮兇極惡的軍事武器，甚至還有圖未的“在水下航行的機器”——潛水艇。他想象中的戰(zhàn)車很像現(xiàn)在的坦克。

　　當然，咱們祖先在這方面的想象更加了不得，姜子牙那會兒就有習來飛去的寶物在空中拼個你死我活，大大超過今天的“愛國者導彈”。

　　耐普爾的小聰明也不少。鄰居家的鴿子很使他心煩，他就跟鄰居說，如果再把鴿子亂放，咱哥們可就對不住，要沒收了。鄰居笑他一笑說：要能抓住請老哥別歇著。他們認為耐普爾沒那份能耐。

　　哪知第二天，鴿子都在耐先生的大袋里了。原來這位“能耐先生”略施小計，在自家的草坪上撒上了用酒滄過的豌豆，鴿子吃了，都成了酒中仙，來了次“太白醉酒”。

　　這對數(shù)的發(fā)明還有一位并列第一名，就是瑞士的鐘表匠比爾吉（1552——1632）。比爾吉完全獨立地造出了對數(shù)表，在 1620年，晚耐先生六年，發(fā)表了他的成果。比爾吉在業(yè)余時間建立若大功勛，令人贊嘆，更加不易。

　　其實，耐普爾在運算機械化方面，還有一項現(xiàn)在被看作古董，當年可是風頭出足的大發(fā)明——耐普爾計算尺。但是諸位可千萬別把它和對數(shù)計算尺弄混了。雖然對數(shù)計算尺跟耐先生也大有關系，只是它根本不同于咱們在這介紹的耐普爾計算尺。

　　要說耐氏算尺，還得從15、16世紀流行歐洲的“格子算”談起。這種算法主要用來計算多位數(shù)乘多位數(shù)。比如，318×589，就把318寫在頂端，589寫在右側，豎寫。

　　然后打上3×3個方格子，在每個方格子里打上斜線。相乘時，逐位進行，所得數(shù)的十位寫在方格中斜線的上方，個位寫在下方。諸位看圖便知端的。這種算法中，不必先考慮是從低位還是從高位算起。但是在把各部中間結果相加的時候，得從低位的結果加起，按斜格子相加。本題的結果就是318×589=187302。要不是印起來麻煩，還要打格網(wǎng)，恐怕現(xiàn)在還在用它。

　　這是現(xiàn)在筆算的一種早期形式，和現(xiàn)在筆算乘法的算理是一樣的。在法國，又叫“百葉窗”算法。

　　其實，這種算法最早起源于印度。大約在十或1l世紀，不過不是這種樣子，被阿拉伯人采用。改造成所謂“格子算”，是后來傳到西歐的事了。

　　這種算法在15世紀傳入我國，給起了名叫“寫算”，大概是與我國一直流行的“籌算”相區(qū)別吧。這是明朝的吳敬在《九章算法比類大全》里，所用的名字。后來，程大位（1533—1606）在《算法統(tǒng)宗》里給它起了個中國特色的新名稱：鋪地錦。

　　你看，那橫豎交錯、斜線穿插的圖形，像不像編織的一幅錦緞？咱們自己也不妨識一識。

　　這種在歐洲非常流行的算法雖然很好用，但是打格子畢竟麻煩。耐普爾在1617年，發(fā)表了《尺算法》，介紹了他又一項發(fā)明，那就是耐氏算尺了。

　　這種算尺發(fā)明不久，在明末，又傳入了我國，就改了個中國名，叫“算籌”了。當然與古代的那些沒刻度的小棒棒是完全不同的。為了區(qū)別，在人把它叫做耐普爾籌。至今在故宮博物院還有珍藏。

　　要做乘法的話，比如還是318×589，那就把3號、l號、8號籌拿出來，拼合在一起，按第五行、第八行、第九行的斜線相加，就得結果了，和格子算法是完全一樣的。

　　所以，這耐普爾算尺只不過把格子算法里填格子的任務事先做好了，沒什么大花樣。但是，咱們不禁要問一句，這么簡單的想法、改進，為什么只有耐先生一人想到呢？

　　許多風靡一時影響至今的發(fā)明：吉列剃須刀，回形針，拉鏈，鈕扣，原理都不復雜，比常人的想法也往往只多那么簡單的一步�？磥黻P鍵在于想與不想，而不在于簡單和復雜。不去想，再簡單的一步也出不來啊。

　　話說到這，在下倒想插入一段中國的事。幾乎與耐普爾同時，中國也有一位頗有影響的數(shù)學家，叫程大位。

　　程大位在《算法統(tǒng)宗》里，給“格子算”起了個很富文學色彩的名字“鋪地錦”。不過這本最主要的還是介紹珠算，能算得上珠算大全吧。

　　這本書一共是17卷，595個應用問題，所有的計算都用珠算，當然有珠算的口訣，還有口訣的應用。其中的開平方、開立方珠算方法則是由程大位首先提出的。

　　《算法統(tǒng)宗》十分受歡迎。明清兩代不斷翻刻，“風行宇內(nèi)”，“莫不家藏一編”，影響之大，在中國數(shù)學史上是少見的。

　　這珠算的發(fā)明和應用是和當時中國的商業(yè)活動的繁榮分不開的。咱們中國搞計算，一直是籌算，把算籌擺了一地來算帳，多不方便！這樣，珠算就發(fā)明了。

　　算盤到底是什么時候在中國出現(xiàn)的，由什么人發(fā)明的，現(xiàn)在已不大清楚了。不過，至少是在元朝末年，14世紀左右的事情。

　　中國古算，到宋元四大家發(fā)展到高峰，做出了“大衍求一術”、“天元術”、“四元術”這些世界第一的成績以后，到明朝程大位那會兒，已經(jīng)是停滯不前開始落后了。

　　當然，那珠算的發(fā)明還是了不得的功績，一直到如今，珠算仍然在全球都很影響，尤其在日本更是如此。這與程大位的那本《算法統(tǒng)宗》傳到日本，是分不開的。而那耐普爾算尺，現(xiàn)在是真正的古董了，沒多少人知道，更沒有人用，怕是速度趕不上算盤吧，實踐是檢驗真理的唯一標準。

　　算盤就說到這里，請大家再隨我回到歐洲。

　　且說此時此刻，歐洲真正進入了一個英雄世紀，大家群起，人才迭出，很有些像希臘時代和中國的宋元之際。

　　這英雄的10世紀，大致可分為兩個主要時期：1670年之前和1670年之后。前一時期最著名的人物有意大利的伽利略、德國的天文學家開卜勒，法國的費爾馬、笛卡爾、德沙格、帕斯卡。所有這些人都對微積分的發(fā)展作了準備工作。而1670年后不久，朱頓、萊布尼茨相繼創(chuàng)建了微積分。

　　微積分的發(fā)明真正使數(shù)學進行了一次脫胎換骨，研究常量為主的初等數(shù)學的歷史基本結束了，人類從此進入了變量數(shù)學的時代。

　　咱們一切還是從伽利略、開卜勒開始。有人說他們都是物理學家、天文學家，至多不過是用用數(shù)學，難道還真有什么大的貢獻？值得咱們在這本書里和他們碰碰面？

　　實際上，那位意大利大物理學家伽利略（1564—1642），他干的差事，按照現(xiàn)在的說法，他的職稱，一直是位數(shù)學教授。伽利略是個破了產(chǎn)的佛羅倫薩貴族的兒子，一開始他學醫(yī)，“不為良相則為良醫(yī)”。

　　他在比薩大學學醫(yī)時，有幾次到大教堂禱告，就觀察到一個別人熟視無睹的現(xiàn)象：大教堂的大掛燈來回擺動的周期與擺動的幅度大小無關。當時沒有計時的手表，想必他是搭著自己的脈來計時的吧。

　　后來他父母親也同意他改換門庭，去研究科學和數(shù)學。二十五歲時，伽先生被聘任為比薩大學數(shù)學教授。據(jù)說在這期間，他就在那有名的斜塔上做了個有名的實驗，證明和亞里士多德講的相反，重物體并不比輕物體降落得快。伽先生得到這么一條定律：不管物體是重還是輕，其下落的距離與下落時間平方成正比。這也就是咱們現(xiàn)在所常常說的自由落體公式

　　其實，伽利略可能根本就沒有爬上過比薩斜塔去拋什么彩球。他自己這么說過，他是這樣考慮問題的：

　　要去考慮無窮多個不同的重量，不同的形狀的物體是怎么降落的，是不可能的。可是看一看不同的物體在空氣降落的速度，和在水里下降的情況就不一樣了。在空氣里下降，幾乎能同時落地；在水里下降，不同的物體差異可就大了。

　　“當觀察到這點之后，我就得出結論：在一個完全沒有阻力的介質(zhì)中，所有物體以同一速度降落。”因此，伽利略是在做了仔細的觀察之后，抽出了最主要的東西，在自家的腦袋里做了這么一次理想的實驗。真空條件，到哪里找？只有腦子里才能構成這么一個實驗場所。

　　當然，實際的物體是在有阻力的場所中落下的，對于這些，伽利略是怎么說的呢？他的回答是：“……因此，為了科學地進行處理，必須割掉這些困難（空氣阻力，摩擦力等等），在無阻力的情形下，發(fā)現(xiàn)并且證明這些定理之后，再按實際經(jīng)驗所給予的限制來應用這些定理。”

　　他這么想，正像一個數(shù)學家干的事了。數(shù)學家從線上，去掉分子的構造，去掉顏色和厚度，而得到了線的基本性質(zhì)，然后就集中研究這些性質(zhì)。咱們不是給大伙說過嘛，幾何上的線、面、體，實際中哪里去找？只存在于你的腦袋里，你的抽象思維之中。

　　數(shù)學的抽象方法確實離開了現(xiàn)實，但是說也奇怪，當回到現(xiàn)實時，它卻比所有因素都考慮進去更為有力！伽利略正是這樣一位用數(shù)學方式、數(shù)學思想研究問題的科學家。

　　不但如此，伽利略在研究自然時，更是把著重點放在描寫自然，用公式去說出規(guī)律。

　　這可與那時傳統(tǒng)的方法、亞里士多德的研究方法、看問題的方法不大一樣了。那中世紀的教會對希臘的學說根本就是絕對排斥，不過對亞里士多德先生卻情有獨鐘，奉若神明。亞里士多德那嚴密的邏輯，說的頭頭是道。他總是喜歡強調(diào)強調(diào)事物的終極原因。不管有沒有實際的根據(jù)，反正是把那看起來是對的“終極原因”先提出來，然后推理一番，得出一個完整的體系。

　　所以教會拿他當護法大師來供可就是一點也不奇怪了。伽利略同時代的人還是如此。

　　比如說，球為什么下落？亞里士多德說是因為它有重量；那它為什么又只落在地上，那是因為任什么物體都要找到它的“自然位置”，而重物的“自然位置”，就是地球的中心。亞先生這么一說，算是把球下落的“終極原因”找出來了，他自認為很圓滿。重的東西為什么下落得快？亞先生的解釋是重的有更快地回到它的自然位置的本性。

　　你現(xiàn)在瞧瞧這一切覺得挺可笑，可那時大部份人都把這當回事，覺得是個很神圣很自然的回答。

　　伽利略完全不同，他堅持用公式來說明一切，用“量”的精確代替“質(zhì)”的含糊。

　　公式，只是描寫，不是解釋。

　　用數(shù)學家的頭腦去研究物理、力學，這就是伽利略成功的原因。這就是一種科學方法的出現(xiàn)和創(chuàng)造首先是用抽象的眼光看世界，得出最本質(zhì)的；而后再用數(shù)學公式對現(xiàn)象進行描繪。今天咱們對這一套是太熟悉了，是科學的方法，也是研究科學的方法�？墒窃谫だ�略時代，真算得上石破天驚呢。

　　大師說過，我之所以看得遠一些，是因為我站在巨人肩膀上的緣故。牛頓之所以成為巨人，也正是站在了伽利略的肓膀上，全盤接受了他的那套科學方法。

　　牛頓還說，在自然事物研究中，近代人則排除物體的形式和玄妙的質(zhì)，努力把自然現(xiàn)象放在數(shù)學的控制之下。他的科學名著就叫做《自然哲學的數(shù)學原理》。

　　伽利略、笛卡爾、惠更斯、牛頓，還有哥白尼、開卜勒，這些為近代科學造型的人，都是以數(shù)學家的身份去探索自然的。“科學產(chǎn)生于用數(shù)學解釋自然這一信念”�？茖W，被數(shù)學化了。

　　伽先生在比薩大學竭力攻擊亞里士多德的科學，年輕氣盛，發(fā)表起看法見解毫不遲疑。那比薩大學也是知識分子成堆，腦袋都還長在亞里士多德的肩膀上，對伽利略自然是百般挑剔，看不上。

　　那時他已經(jīng)開始寫出重要的數(shù)學論文，一些能力差的人挺忌妒，留短飛長。一氣之下，伽利略決定跳槽。第二年，1592年，他又接到了帕多瓦大學的聘書，依然是數(shù)學教授。那里有比較自由寬松的環(huán)境。

　　在那里，他寫了一本《力學》，繼續(xù)他的實驗，當然還得教教書，一晃就是18年。在這期間，大約是1607年，就是在帕多瓦，他聽到荷蘭磨透鏡工人里珀沙姆發(fā)明了望遠鏡，就自己動手做了一個放大30倍的望遠鏡。

　　這人類歷史上有意義的第一望，簡直令伽利略也吃驚得合不攏嘴：那平常姣潔無瑕的月亮竟然是坑坑凹凹的麻婆，慘不忍睹；原來看起來是個光棍漢的木星（九四大新聞之明星），卻早已成家業(yè)，拖兒帶女，有四個衛(wèi)星繞著它轉悠。

　　伽利略這一望，給哥白尼的“日光說”以有力的支持，望出了大名堂。盡管他離開帕多瓦大學后，受一位大公爵的保護，在佛羅倫薩任宮廷首席數(shù)學家，可也觸怒了羅馬教會。

　　終于在1633年，他的傳世名作《關于兩大世界體系的對話》出版后，第二年，羅馬教庭再次傳喚他去。在刑具威逼之下，強迫他放棄“日心說”。教廷現(xiàn)在對這次審判很害羞地平了反。他被軟禁起來，禁止發(fā)表著作。但是思想是禁止不住的，他的《關于兩門新科學的探討和數(shù)學證明》寫好后，秘密運到荷蘭，于1638年出版。

　　牛頓的“數(shù)學原理”，伽利略的“數(shù)學證明”。都說明數(shù)學在開辟現(xiàn)代科學時的舉足輕重。數(shù)學，是現(xiàn)代科學的開山巨斧，思想銳器，科學家們的精神支柱。

　　伽利略在這篇名著中，還第一次探討了無限的世界。他在書中說了這樣一番話：

　　“平方數(shù)的個數(shù)不小于所有數(shù)的總數(shù)；所有數(shù)的總數(shù)也不大于平方數(shù)的個數(shù)。”所有數(shù)，就是所有的自然數(shù)；平方數(shù)，指的是自然數(shù)的平方。不知同學們可解其中之味、話中玄機。要知道，這短短兩句話，真是亙古未有之論，暫且留給大家慢慢消受領悟一番，待等到與康托大師見面時，再提不遲。

　　伽利略的大作中，唯獨沒有提到開卜勒那著名的行星運動三定律，看來伽先生也挺妒忌開卜勒的偉大發(fā)現(xiàn)。

　　比起伽利略來，開卜勒可不太走運。

　　開卜勒（1571—1630）出生于德國的一個小城市。老爸是個酒鬼。先當兵，后來就開酒館，開卜勒從小就得當酒保。老天爺對這孩子也太不照顧，小開卜勒不幸得了天花，后來就落下了殘疾，眼神也不濟。

　　盡管如此，他還是進圖賓根大學學習，這是培養(yǎng)教士的，開卜勒原先很想在教會吃口安穩(wěn)飯。

　　后來，有一位跟他關系不錯的數(shù)學和天文教授，私下里教他哥白尼的“日心說”理論，使他對天文學大感興趣。圖賓根大學的頭，看他對教會有些不地道，就在1594年，打發(fā)開卜勒去奧地利的格萊茨大學任教。

　　這在開卜勒倒是件好事，在那里有一位著名的宮廷天文學家，是魯?shù)婪蚨�世的御前占星師。開卜勒就跟著他當助手，天天夜觀天象，主要是行星運動的研究。后來這位老師去世了，開卜勒就接替了這個老師的位置，也要為魯?shù)婪蚨�世算算命�?/p>

　　為皇帝算命，開卜勒也是沒辦法，只好認了。好在占星術有助于謀生，也是當天文學家研究行星運動的好借口，他也覺得自得其樂了。

　　開卜勒從老師那兒接受了大量的行星運動的觀察資料，進行了大量的計算。那時耐普爾的對數(shù)還沒有發(fā)表，就差那么幾年，沒那份福氣享受神奇的發(fā)明。所以就只好啃哧啃哧慢慢算，不過比他的歐洲前輩好多了，總算有了十進制小數(shù)，又有了“格子算法。”

　　經(jīng)過反復的試驗，多次的失敗，他終于在1609年發(fā)表了行星運動的前兩條定律。十年后，又接著來了條第三定律：

　　1．行星繞著太陽在橢圓軌道上旋轉，太陽在橢圓的一個焦點上。

　　2．連接行量與太陽的線段，在相等的時間間隔內(nèi)掃過相等的面積。

　　3．一個行星繞太陽運動的周期的平方，與橢圓軌的長半軸的立方成正比。

　　這些定律都是在大量的數(shù)據(jù)中總結歸納出來的，和伽利略的那種理想的實驗，大膽的假設的有些不同。當然伽利略也不僅僅是用一種方法。

　　開卜勒要比哥白尼更革命，更大膽。當然在采取“日心說”這一點上他們是相同的。開卜勒的運動軌道是橢圓，行星的運行速度也不是勻速的。這些都和傳統(tǒng)，和哥白尼的認識不大相同。“日心說”更加可靠、令人信服了。

　　因為如果按哥白尼一開始提出的一套方案，實際觀察的結果也并不比“地心說”好多少呢。

　　當然，即使經(jīng)過了開先生的工作，地球繞著太陽轉在那時還是叫人想不通，想不通的人還都是些知識分子。比如地球自轉，那為什么扔一個東西到空中，還是落到原地，而不是落到西邊一點的地方呢？如此等等，有的問題還挺專業(yè)。

　　對所有這些，哥白尼和開卜勒都只用了一句話來回答：咱這么做，數(shù)學上更簡潔。上帝設計世界當然要來用更優(yōu)秀更簡潔更優(yōu)美的理論啦。“上帝是最好的數(shù)學家。”

　　開卜勒1619年那篇關于第三定律的著作，就叫《世界的和諧》，表達了對上帝數(shù)學設計的偉大所表示的由衷欽佩。

　　所以一開始只有數(shù)學家支持日心論是不奇怪的。只有數(shù)學家，而且只有相信宇宙是按數(shù)學方式設計的數(shù)學家，才能打破樊籠第一關，把科學建立在數(shù)學的基礎之上，盡管還會時時出現(xiàn)上帝的身影。

　　為了得出行星運動第二定律，開卜勒當然要計算橢圓的面積。那時候微積分還沒有創(chuàng)立，他所采取的是比較原始的分割、近似、相加求和的思想。開卜勒還用這國法去求出許多幾何體的體積。這實際上是一種粗糙的微積分方法，所以開老先生也是微積分的前驅(qū)者之一。

　　他老人家是在見到當時的酒桶體積計算很拙劣時，發(fā)生了這方面的興趣。這也許與他早年當酒保的工作有關吧。

　　開卜勒是偉大的，可是他的個人生活卻十分不幸。他經(jīng)常受天主教的各種迫害，老娘被認為是巫婆，第一個妻子瘋了，而最喜歡的兒子又死于天花。據(jù)說，他的第二個妻子更沒給他帶來什么好運。他的工資還經(jīng)常被拖欠，看起來那位魯?shù)婪蚨�世也是不咋的�?630年，他去領取拖欠已久的工資，走在半道上就去世了。這在今天，恐怕要上“焦點時刻”了。

　　他給上帝尋找到“世界的和諧”，上帝對他卻太不和諧了。下面咱們再來看看上帝對待另一位天才人物帕斯卡究竟如何。

　　帕斯卡大家非常熟悉，中學物理的第一冊就有帕斯卡定律，那是他 23歲時的發(fā)現(xiàn)。不過他最大的貢獻是在數(shù)學領域。

　　他被公認為數(shù)學史上的神童，1623年出生在法國克勒芒。上帝給了他一個早熟的腦袋，不過身體一直不好，1662年就去世了。短暫一生放出的光芒卻照射了人類幾百年。

　　他的父親也是一位數(shù)學家，覺得孩子太小不能知道得太多，甚至把數(shù)學修書全都藏了起來。不料越不讓他學，那小帕斯卡就越覺得神秘好奇，小小年紀，就發(fā)現(xiàn)了平面幾何的許多定理，比如三角形的內(nèi)角和定理。

　　帕斯卡的老爸大為感動，14歲時，就帶他參加每周一次的法國數(shù)學家聚會，科學沙龍。后來這科學沙龍就成了法國科學院的胚胎了。那參加沙龍的人物也都大名鼎鼎，笛卡爾，費爾馬，德沙格，還有后來的科學院院長梅森。

　　16歲，1636年，這位神童發(fā)現(xiàn)了一條名垂青史定理：

　　若一個六邊形內(nèi)接于一條圓錐曲線，那么每兩條對邊相交而得的三點在同一直線上。咱們從下面的圖可以看得很清楚。

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　　16歲的帕斯卡是這么想問題的：

　　首先，這條定理對圓是成立的，完全可以證出來。那么，如果把圓變換成其他圓錐曲線，比如，像拋物線、橢圓、雙曲線，問題不就解決了嗎？帕斯卡正是這么做的，變換的方法就是“射影”。說句通俗點的，就是打幻燈片。要是諸位有興趣，不妨試一試，在一塊玻璃板上一畫上圓和內(nèi)接六邊形，然后用點光源（就是發(fā)光的光源最好像個點，不能是電棒），往玻璃后面一照，那么墻上就有圖形的射影。

　　下面就看你的屏幕（墻）與玻璃塊是個什么關系了。如果兩者平行，那么投影還是圓；如果不平行，就是橢圓，或者是其他圓錐曲線。當然，那直線不管你怎么照射，得出來的永遠是直線，直線上的點自然也不會被射到線外去。這樣，六邊形還是六邊形，只不過形狀有些變化，而那個結論當然也是成立的。

　　這可是一種很先進的思想，就是讓圖形從一個形狀連續(xù)地變到另一個形狀。而在這種連續(xù)變換中，哪些東西會變，哪些又不會變，是個十分重要的問題。

　　比如咱們剛剛做的投影變換，不變的是直線；變的是圓。而圓在這種變換中，又只能變成其他一些圓錐曲線。

　　一門新的學科就這么產(chǎn)生了，它叫射影幾何。它著重于圖形的位置和相交方面的性質(zhì)，而不是像歐氏幾何那樣，著重考慮圖形量的方面的性質(zhì)。不過，帕斯卡的這一輝煌成果，竟引起了許多人的懷疑，不相信這是一個16歲孩子的思維，而認為是帕斯卡父親捉筆代刀。但是帕斯卡三年后，又發(fā)明了第一架機械計算機，能自動從個位進到十位，從低位進到高位，有點像現(xiàn)在電表里的那個計數(shù)盤。

　　接踵而來的一系列成就，更使人驚嘆不已。31歲那年，他又對賭博時兩個賭徒如何分賭全的問題有了濃厚興趣。這個分賭金的問題，卡當和塔爾塔里亞也都考慮過，沒有進展。那位卡當還為此寫一本書。帕斯卡在朋友的鼓勵下決定一試身手，他把自己的解法告訴費爾馬，兩人不謀而合，想的都對。又一門新的學科，概率論就這樣起步了。

　　帕斯卡在考慮概率時，要討論從幾件東西中，取r件，一共有多少可能的情況。這樣，他就又得出了舉世聞名的帕斯卡三角形。這種由數(shù)字一層一層疊起來的三角形咱們前面就說過，叫賈憲——楊輝三角形，咱們中國要比他早500年了，“五百年前是一家”。

　　不過，帕斯卡那條著名的內(nèi)接六邊形定理倒確實受過高人啟發(fā)。那就是他的同僚德沙格（1591—1661），射影幾何的另一位奠基者。

　　畫家們畫畫要講透視，實際上也就是圖形的投影；此外，如何把地球睥圖投射成一個平面的地圖，這里面也很有學問。射影幾何就這么提上了日程。當然那時沒有這四個字的名稱。

　　德沙格先是位陸軍軍官，后來又成了一名工程師，建筑師。他通曉阿波羅尼斯圓錐曲線的著作，總想來一個新招，不是一個一個的證明圓錐曲線的定理，而是歸歸類，證它一批。新招終于被他發(fā)現(xiàn)了！這就是前面所說的投影的方法，看看圖形在這樣的連續(xù)變換下，什么性質(zhì)會變，什么又不在變。

　　德沙格就教帕斯卡民用這種高招，能把圓錐曲線的許多問題簡化成數(shù)幾個基本命題。而帕斯卡這么一試，果真靈驗，這樣就有了那帕斯卡的“神秘的六邊形”定理。要知道，這定理的推論就有400多個呢！

　　不過德沙格本人卻不太走運，甚至還招來許多抨擊。連笛卡爾也寫信給他，說你那磋商方法搞不出什么新名堂。但是當?shù)芽�爾老人家看到了德沙格的證明后，又馬上推崇備至，高！

　　德沙格把他的射影法寫成一本書，印成50份，送給他的朋友。朋友們可能都心不在焉，書都弄丟了。直到1950年，在巴黎國立圖書館才發(fā)現(xiàn)了一本，孤本。

　　那么他的朋友們?yōu)槭裁从侄夹牟辉谘赡兀康芽�爾又為什么一開始說他弄不出什么名堂呢？原來，當時笛卡爾正在用代數(shù)的方法來研究幾何，收獲不小，大伙的焦點一起盯在了這兒。用代數(shù)方法研究幾何，把幾何圖形用代數(shù)方程表示出來，通過對方程的研究和變換來掌握圖形，這個好主意可不是人人都能想到的。

　　想了幾千年，也沒有人能想到一招，卻被一位青年軍官“南柯一夢”得出了結果，成了現(xiàn)如今被稱為解析幾何這一門的鼻祖。

　　話說這笛卡爾出生于1596年，法國的一個名門望族。小時候身體不好，早上要睡睡懶覺。后來養(yǎng)成習慣，那早晨的懶覺，變成了想問題出成果的好時光。他自己也說過，大部分東西是在床上想出來的，特有靈感。

　　這恐怕是正中同學們下懷，睡懶覺有了好理由。不過大家要睡請各自方便，出不了成果可別怨笛卡爾先生沒教睡法大全。公雞孵不出小雞別怨雞窩不好。

　　再說笛卡爾20歲大學畢業(yè)，就去巴黎當律師，曾和前面提過的梅森在一塊研究研究數(shù)學。過了一年，1617年，這位貴公子心里靜不下來，忽然從了軍，當了兵。真有點安邦治國建功立業(yè)的大志，橫刀立馬叱咤風云的氣派。

　　這兵一當就是九年，有時還逛逛巴黎，狂歡作樂一番，來點公子哥的小脾氣。但他一直研究數(shù)學。一次在荷蘭布萊達，看到大街上貼招賢榜，圍觀的人議論紛紛，對那榜上的幾道數(shù)學題沒法下招。笛卡爾揭下此榜，很快解決。這使他自信自己的數(shù)學才能，從此靜下心來鉆數(shù)學。

　　不過笛卡爾最有興趣的，還是研究科學和尋求真理的一般方法。人們說他是近代第一個杰出的哲學家。同時他對整個自然界都在探索，力學的、光學的、生物的實驗，他做了許多，是第一流的物理學家。

　　也不知怎么，一不留神成了個數(shù)學家。倒有點像現(xiàn)如今有些寫書的朋友說過的，一不留神能鬧出本紅樓夢來。

　　所以他就開始尋找這種一般的方法。但他不久就斷定邏輯本身是無結果的，“與其能用來探索未知的東西，不如說用來交流已知的東西”。

　　就這么找來找去，據(jù)他自己說，在 1619年11月10日，多瑙河旁的一座軍營里，躺在床上的他思維這么一聚焦，立刻悟出了這種方法，這就是數(shù)學方法。“眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈光闌珊處。”

　　據(jù)說那天晚上他躺在床上久久不能入睡，望著天花板發(fā)呆。突然看到一只蒼蠅在天花板上爬來爬去畫曲線，這條曲線到底怎么個表示？如何描繪？一時間倒有些摸不著頭。再想想那飛逝的流星，飛奔的駿馬，不都在畫著曲線嗎？

　　昏昏然入了夢鄉(xiāng)，好像看見那蒼蠅還在爬，和那相鄰兩墻的距離也是一會大些，另一會小些。有門了！靈感來了！他頓時領悟到，要是知道蒼蠅與兩墻之間的距離關系，不就能描繪蒼蠅的路線嗎？

　　這故事雖然有點玄乎，但是就是當真也無傷大雅，咱們就讓它在似與不似之間吧。

　　那故事里的兩堵墻，看起來就是現(xiàn)在所說的坐標系的兩根軸了！X軸和Y軸。現(xiàn)在這樣一種坐標系，就叫做笛卡爾坐標系。

　　對于坐標系，咱們不只是在課本里見過面，每個人周圍都有不少。那影劇院里的座位，地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)，不都是要用兩個數(shù)，才能表示一個確定的點嗎？到圖書館找書，每本書的位置也能用第幾排、第幾層、第幾本這三個數(shù)表示出來。這里用到三個數(shù)，因為書放在了一個立體空間中，兩根坐標軸不夠了，得添上一根豎起來的，這就叫三維空間。

　　其實不知大家意識到?jīng)]有，小學、初中就知道的數(shù)軸，一根軸，也構成了一個坐標系。但是它只能表示直線上的點，用一個數(shù)就夠了，就叫一維空間。

　　咱們住在單元房，諸葛亮的八卦陣，城市里縱橫交錯的道路，無一不是坐標系。我們在實際運用時，都有意無意地用坐標系的語言來說出其中的位置的。

　　有人說了，那城市的街道不標準，不都是橫平豎直的，不相互垂直，怎么還算平面坐標系？其實，平面的坐標系不強求你一定要把X軸Y軸互相垂直。你畫斜了試試，看看能不能表示出平面中的點？

　　其實，只要把平面編成個網(wǎng)網(wǎng)，把空間隔成個鴿子籠，不管你編的線怎么彎怎么曲，坐標系就被你編成了。就說有無數(shù)多種形形色色的坐標系，也是千真萬確的事。

　　咱們要是回到笛卡爾那里去看看，就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，這位解析幾何的老祖宗最初的平面坐標系，就是兩根斜交的直線構成的，而不是今天在課本里看到的那樣。

　　平面上的點能用一對有序的數(shù)表示，而平面上的圖形能用方程來描繪，現(xiàn)在的初中生已經(jīng)知道一些了。一次函數(shù)、二次函數(shù)的方程，能在坐標系中作出相應的圖形，代數(shù)的語言有了直觀的幾何解釋。

　　而平面上的圓，又能用代數(shù)方程來研究，很清楚地知道了圓心和半徑。代數(shù)，終于從希臘時代的附庸地位一下子變成了完全獨立的部門，代數(shù)變得比幾何更重要。

　　不過，笛卡爾老先生倒并沒有把這若大的發(fā)明太當回事。那時候，他把這一套東西都當成附錄，附在他的哲學論著《方法論》的后面，突破附庸的大創(chuàng)造又當了一次附庸。

　　《方法論》是笛卡爾居住于荷蘭20年中完成的，那里安靜自由的學術環(huán)境很適合他的胃口。1649年，瑞典女皇邀請他去講授哲學。這位年輕的女皇非得要每天早上五點開講，笛卡爾勉為其難，身體不能適應，懶覺沒法睡了。幾個月后，染上了肺炎，不治逝世，終年54。

　　在笛卡爾敘述了解析幾何基礎的同時，另一位法國數(shù)學天才費爾馬也注意到這門學科。兩人卷入了優(yōu)先權之爭。

　　費爾馬說，他在1636年給羅伯瓦的一封信中說到，他有這方面的概念已經(jīng)七年了。而 1637年笛卡爾才發(fā)表他的著作。笛卡爾當時已完全知道費爾馬的許多發(fā)現(xiàn)，但否認他的思想是從費爾馬那里來的。

　　沒有知識產(chǎn)權法庭斷這件官司，所以就打起了筆仗。羅伯瓦、帕斯卡等人站在費爾馬一邊，而米道奇、德沙格站在笛卡爾一邊。一時間信來信去，爭個不休。后來就慢慢平息下來。

　　1660年，笛卡爾死后十年，費爾馬寫了一篇文章，指出笛卡爾的一個錯誤。但他接著說，他是如此佩服笛大哥的天才，即使有瑕庇，他笛先生的工作甚至比別人沒有錯誤的工作更有價值。

　　費爾馬（1601？—1665）確實要比較謙虛一些。他是一位卑微的律師，業(yè)余時間就全用在數(shù)學研究上了。他一輩子發(fā)表的著作不多，恐怕是沒錢自費出版，但他和第一流的數(shù)學家經(jīng)常通信交流。

　　他還有個僻好，喜歡在書邊上寫注記，許多重要的發(fā)現(xiàn)就這么記著的。

　　他的數(shù)論方面的許多貢獻就是記在一本丟蕃都的書邊上。數(shù)論，是費爾馬先生最杰出的工作，奠基者。

　　其中記下了最有名的一個，就是費爾馬大“定理”：不存在正整數(shù)X、Y、
 

　　大家知道，當n=2時，就是勾股定理了，有解，畢氏三數(shù)就是答案。費爾馬發(fā)現(xiàn)n=3時就來了麻煩，所以就有了上面的猜測。費爾馬在書邊寫道：“我確實找到了一個極妙的證明，但頁邊太窄，寫不下。”

　　看來有沒有證明只能是天知地知了。后來許多數(shù)學家都尋求這“極妙的證明”而一無所獲。這樣100年過去了，費爾馬大“定理”成了著名的世界難題，人類仍然沒能突破。

　　第一次具有歷史意義的突破是在1779年，由歐拉先生做出的，他成功地證明了當n=3，n=4的情況。大約在1825年，勒讓德和狄利克雷獨立地證出了n=5的情況。八年之后，一位完全是自學成才的法國婦女索菲婭，竟然也取得了不小的成果。

　　歷史過了100年，n才被推進到100。公元1850年和1853年，法蘭西科學院兩次懸賞2000金法郎，征解費爾馬猜想，也不過把指數(shù)的上限推到216。

　　日歷又翻過 50 年，德國數(shù)學家佛爾夫斯克給哥廷根科學院留下十萬馬克，懸巨賞再次征解。一時之間，各種證明紛至沓來，統(tǒng)統(tǒng)不對。費爾馬定理如此著名，恐怕就在于發(fā)表了許多錯誤的證明。

　　借助于電子計算機，n的上限被推進到4000萬！但當然不能算是證得了定理。

　　1993年6月，英國劍橋牛頓數(shù)學研究所舉行了一個學術報告會。一位英國皇家學會會員。美國普林斯頓大學教授維拉斯，應邀作了一系列演講，演講題目是“橢圓曲線，模形式，和伽羅瓦表示”。從這個題目，聽眾猜不透他到底要得出些什么。

　　然而在 6 月 23 日他的最后一個演講結束時，他終于推出了費爾馬大定理。在場的數(shù)學家紛紛舉起相機記錄下數(shù)學界的這千金一刻。很多報紙紛紛報導，報導這數(shù)學發(fā)展中的巨大里程碑。

　　雖然他的證明有200多頁，許多細節(jié)要逐個檢查，但專家們認為他是對的，證明的思路是對的。證明中他采用了許多不同分支的最新思想，采用了許多當代名家的思想、結果和技巧。采百家之花，方得芳香之蜜。他的工作是一項意義深遠的貢獻，是本世紀一項重大科學成就。

　　費爾馬老先生頁邊寥寥數(shù)語。引得400年中無數(shù)英雄竟折腰，得出了好多成果，真正是能下金蛋的老母雞。

　　費先生的聲名之大，全因這大定理增加了份量，往往忘了他也是解析幾何的奠基人。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。