例2：是例3教學(xué)的鋪墊，只列式不計(jì)算。根據(jù)已學(xué)數(shù)量關(guān)系“每桶水的體積×桶數(shù)=水的體積”，通過類比推理列式，只是桶數(shù)可以由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)。教材結(jié)合情境，說明求 桶水、 桶水的體積就是求12 L的 和12 L的 分別是多少。在此基礎(chǔ)上，概括出“一個(gè)數(shù)乘幾分之幾，可以表示這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。由整數(shù)乘法的意義類推出分?jǐn)?shù)乘法的意義和算式，在情境中理解分?jǐn)?shù)乘法算式在這里表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。

例3：分?jǐn)?shù)乘法意義的第二種形式：一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少

是在學(xué)生會利用“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算”列式之后，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。教材借助直觀動態(tài)圖及分?jǐn)?shù)的意義，使學(xué)生在探索和理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的基礎(chǔ)上，一步一步總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。在這里，有些分?jǐn)?shù)是帶單位的“量”，有些分?jǐn)?shù)是不帶單位的“率”，事實(shí)上，“量”與“率”也是可以互相轉(zhuǎn)化的。例如， 公頃，實(shí)際上就是1公頃的 ; 公頃的 ，就是1公頃的 ，即 公頃。這需要教師充分利用動態(tài)圖幫助學(xué)生理解“量”與“率”之間的轉(zhuǎn)換。

例4：分?jǐn)?shù)乘法的簡便約分方法

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的簡便方法。教材把分?jǐn)?shù)乘法意義的兩種形式混合編排在一起。第(1)小題是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，第(2)小題既可以根據(jù)“速度×時(shí)間=路程”列式，也可以根據(jù)“幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加”列式。在數(shù)據(jù)處理上，本例中既包含分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，又包含分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘。學(xué)生可以通過此例，進(jìn)一步掌握分?jǐn)?shù)乘法的一般性算法。

例5：分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘

是教材修訂中增加的內(nèi)容。分?jǐn)?shù)和小數(shù)相乘，可把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)相乘(在分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)的情況下)，也可把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)相乘。不管哪種方法，都是學(xué)生已學(xué)的知識，可以讓學(xué)生自行解決。而當(dāng)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母存在公共因數(shù)時(shí)，可以直接“約分”。這種約分雖然與以前學(xué)過的約分形式不同，但實(shí)質(zhì)都是除以一個(gè)相同的數(shù)。在倡導(dǎo)算法多樣化的同時(shí)，也要通過比較分析，幫助學(xué)生認(rèn)清“通用方法”與“特殊方法”之間的相互關(guān)系，同時(shí)明確簡便算法的局限性。

例6：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算順序

教材的編排首先借助學(xué)生用不同方法計(jì)算長方形的周長，自然引出分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，并直接說明分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序和整數(shù)混合運(yùn)算順序相同，讓學(xué)生自主解決。本例特意用兩道有關(guān)聯(lián)的算式講解分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序，為接下來把整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)乘法的正式教學(xué)進(jìn)行了很好的鋪墊。

例7：整數(shù)乘法運(yùn)算定律擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)

在例6教學(xué)的基礎(chǔ)上，再通過觀察、計(jì)算，歸納得出“整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分?jǐn)?shù)乘法也適用”的結(jié)論。結(jié)合具體計(jì)算，說明應(yīng)用乘法運(yùn)算定律可以使分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算更加簡便。

例8：連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少

是讓學(xué)生在會解決求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步解決連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的實(shí)際問題。在這里，由于研究的是三個(gè)量之間的關(guān)系，在描述其中某兩個(gè)量的數(shù)量關(guān)系時(shí)，單位“1”是在動態(tài)變化的。

教材編排通過折紙或畫圖等操作活動，借助直觀圖形幫助學(xué)生理清題中有幾個(gè)量，這些量之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，體會畫圖是分析問題、解決問題的重要策略。另一方面，倡導(dǎo)解決問題方法的多樣化。既可以先求出蘿卜地的面積，再求出紅蘿卜地的面積;也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾，再求出紅蘿卜地的面積。不同解題思路的呈現(xiàn)，可以提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。

例9：求比一個(gè)數(shù)多(或少)幾分之幾的數(shù)是多少

本例是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的是多少”的發(fā)展題，其復(fù)雜性主要是沒有直接給出“一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾”，需要先求出一個(gè)量比另一個(gè)量多(或少)的具體數(shù)量或者先求出一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾。教材通過線段圖直觀地表示出“嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多 ”的意思，揭示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生明確“多(或少)幾分之幾”是“多(或少)誰的幾分之幾”。這對于學(xué)生理解題意、選擇計(jì)算方法會起到關(guān)鍵性的作用。

本單元的教學(xué)重點(diǎn)是理解分?jǐn)?shù)乘法的意義;理解與掌握分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法;應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法解決簡單的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)是理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理以及用分?jǐn)?shù)乘法解決“求比一個(gè)數(shù)多(或少)幾分之幾的數(shù)是多少”的實(shí)際問題。

【重難點(diǎn)突破】

1. 理解分?jǐn)?shù)乘法的意義

突破建議：

(1)正確把握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)及知識的邏輯起點(diǎn)，運(yùn)用遷移、類推，引導(dǎo)學(xué)生自主列出乘法算式。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。”由此可見，正確把握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)及知識的邏輯起點(diǎn)，是開展有效教學(xué)的基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)乘法的意義是整數(shù)乘法的意義的擴(kuò)展，因此，在讓學(xué)生學(xué)習(xí)表示“幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加”的分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，可以完全放手讓學(xué)生根據(jù)已學(xué)的分?jǐn)?shù)加法進(jìn)行推導(dǎo)。在此基礎(chǔ)上，引出分?jǐn)?shù)乘法的第二種意義：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。在此過程中，教師同樣可以充分挖掘?qū)W生的已有知識經(jīng)驗(yàn)來教學(xué)。

例如講到例2時(shí)，根據(jù)教材呈現(xiàn)的三幅圖，在學(xué)生充分觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)第一圖列出算式12×3后進(jìn)行思考：你是根據(jù)什么列式的?使學(xué)生明確列式的依據(jù)是“單位量×數(shù)量=總量”。然后教學(xué)緊緊抓住這個(gè)學(xué)生熟悉的數(shù)量關(guān)系，不斷追問：如果把單位量換成分?jǐn)?shù)，是什么情形?(即例1中幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加的情況);如果把數(shù)量換成分?jǐn)?shù)，是否同樣成立?引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)整數(shù)乘法的數(shù)量關(guān)系列出分?jǐn)?shù)乘法的算式。

(2)借助圖形直觀，在“量”“率”轉(zhuǎn)換中實(shí)現(xiàn)乘法意義的建構(gòu)。根據(jù)“單位量×數(shù)量=總量”“每桶水12 L， 桶水就是 L”，再結(jié)合直觀圖強(qiáng)調(diào)，看到的 桶水就是半桶水，即12 L水的一半，用分?jǐn)?shù)的語言，就是12 L的 。至此，“ 可以表示12的 ”的教學(xué)難點(diǎn)就解決了。另一方面，再結(jié)合情境強(qiáng)調(diào)，“12的 ”和“ 個(gè)12”含義相同，只是表述方式不同而已。這樣，就能把分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義有機(jī)地統(tǒng)一起來，學(xué)生在遷移、類推、比較中自主地理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

2. 理解與掌握分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法

突破建議：

(1)借助動手操作，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義、數(shù)形結(jié)合理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法并不復(fù)雜，記憶和應(yīng)用算法也不難，但是，理解為什么這樣計(jì)算卻不容易。在教學(xué)中，教師可以先讓學(xué)生用一張紙(或畫一個(gè)長方形)來表示1公頃地，再利用涂色來理解求 公頃的 就是把 公頃平均分成5份，取其中的一份。像這樣借助涂色將數(shù)與形結(jié)合，將計(jì)算與分?jǐn)?shù)的意義緊密相聯(lián)，充分展示知識的發(fā)生、發(fā)展和聯(lián)系的教學(xué)方式，為學(xué)生的獨(dú)立探究提供了保證，是學(xué)生理解算理的好方法。接下去就可以通過直觀的涂色結(jié)果來讓學(xué)生得到結(jié)果，并明確把1公頃看作單位“1”，求 公頃的 是多少，其實(shí)就是把1公頃平均分成(2×5)份，取其中的一份，也就是 ，從而得出 。當(dāng)然，在動手操作探索的過程中，應(yīng)該充分尊重學(xué)生的思考，允許學(xué)生用多種方法來對結(jié)果進(jìn)行說明驗(yàn)證。鑒于學(xué)生的學(xué)習(xí)理解能力，教師也可以在講課開始之時(shí)先提供一些圖例，讓學(xué)生們通過看圖來直觀感知“幾分之一的幾分之一”表示的是什么，感受兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘會產(chǎn)生一個(gè)新的分?jǐn)?shù)，對學(xué)生的理解也會有很大的幫助。

(2)引導(dǎo)觀察、討論、歸納推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法。計(jì)算方法的獲取、表達(dá)如果來自于學(xué)生自己的思考，學(xué)生會掌握得更扎實(shí)。在教學(xué)中，教師可以結(jié)合例題的教學(xué)，讓學(xué)生通過畫圖對算法進(jìn)行理解;從計(jì)算分子為1的乘法算式 算理的理解，到 的計(jì)算，由易到難逐步進(jìn)行;在對 算法理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行大膽、合理的猜想并進(jìn)行驗(yàn)證;讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察——討論——猜想——驗(yàn)證——得出結(jié)論”的過程，使得他們在不斷觀察、不斷發(fā)現(xiàn)、不斷歸納的過程中總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。

3. 應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法解決簡單的實(shí)際問題

突破建議：

(1)緊密聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘法的意義，引導(dǎo)學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上正確列式，解決實(shí)際問題。分?jǐn)?shù)乘法的意義有兩種不同的表述，其中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計(jì)算”對學(xué)生而言是全新的。在解決相關(guān)實(shí)際問題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生找出兩個(gè)相比較的量，分析兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，弄清哪個(gè)量是單位“1”，要求的量是單位“1”的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列式解答。對這類基本問題的解題思路的理解和掌握，為學(xué)生解決稍復(fù)雜的實(shí)際問題奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為“分?jǐn)?shù)除法”單元解決實(shí)際問題提供了直接支持。

(2)有效運(yùn)用畫圖策略，幫助學(xué)生分析和解決問題�！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。”畫圖既可以將學(xué)生對題意的理解加以外顯，又可以將現(xiàn)實(shí)情境抽象為數(shù)學(xué)模型，幫助分析和解決問題。因此學(xué)生在問題解決的過程中，首先應(yīng)明確題目中的信息和問題，并用圖(表、符號或操作等)將題目中的信息和問題表示出來。如連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題和求比一個(gè)數(shù)多(或少)幾分之幾的數(shù)是多少的問題，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，用線段圖等方式可以比較清晰、直觀地表示出數(shù)量之間的關(guān)系。教學(xué)時(shí)要有效運(yùn)用畫圖策略，幫助學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。可以先從會看示意圖入手，逐步學(xué)會畫圖分析數(shù)量關(guān)系，不斷提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。