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數學文化:約瑟夫問題

來源:網絡資源 文章作者:奧數網整理 2019-05-11 23:31:51

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  有一個古老的傳說,有64名戰士被敵人俘虜了,敵人命令它們排成一個圈,編上號碼1,2,3,……64。敵人把1號殺了,又把3號殺了,他們是隔一個殺一個這樣轉著圈殺。最后剩下一個人,這個人就是約瑟夫,請問約瑟夫是多少號?

  這就是數學上有名的“約瑟夫問題”。給大家一個提示,敵人從l號開始,隔一個殺一個,第一圈把奇數號碼的戰士全殺死了。剩下的32名戰士需要重新編號,而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。按照這個思路,看看你能不能解決這個問題?

  答案解析:

  由于第一圈剩下的全部是偶數號2,4,6,8,……64。把它們全部用2除,得1,2,3,4,……32.這是第二圈重新編的號碼。第二圈殺過之后,又把奇數號碼都殺掉了,還剩下16個人。如此下去,可以想到最后剩下的必然是64號。

  64=2×2×2×2×2×2,它可以連續被2整除6次,是從1到64中質因數里2最多的數,因此,最后必然把64號剩下。從64=2×2×2×2×2×2還可以看到,是轉過6圈之后,把約瑟夫斯剩下來的。

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